Ермітова матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратна матриця з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто

    (у фізичній нотації: ).

Це еквівалентно до системи рівняннь для елементів матриці

Властивості[ред.ред. код]

Часткові випадки[ред.ред. код]

Частковими випадками ермітових матриць є:

  • додатньоозначені матриці — у них всі власні значення додатні;
  • невід'ємноозначені матриці — у них всі власні значення невід'ємні;
  • від'ємноозначені матриці — у них всі власні значення від'ємні.

Зв'язок з комплексними числами[ред.ред. код]

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та антиермітової матриць:

де:

   — ермітові матриці,
   — антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці переставні:

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то:

  • ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел;
  • антиермітові — чисто уявних комплексних чисел;
  • і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатніх, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.

Приклад[ред.ред. код]

— ермітова матриця тому, що

або

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]