З'єднання многогранників
З'єднання многогранників — геометричне тіло, складене з деяких многогранників, що мають спільний центр. З'єднання є тривимірним аналогом багатокутних з'єднань, таких як гексаграма.
Зовнішні вершини з'єднання можна з'єднати, утворивши опуклий многогранник, який називають опуклою оболонкою. З'єднання є огрануванням опуклої оболонки.
Усередині з'єднання утворюється менший опуклий многогогранник, спільна частина всіх членів з'єднання. Його називають ядром набору зірчастих многогранників .
Правильне з'єднання многогранників можна визначити як з'єднання, яке, як і в разі правильних многогранників, є вершинно-транзитивним[en], реберно-транзитивним та гране-транзитивним. Існує п'ять правильних з'єднань многогранників.
| З'єднання | Малюнок | Сферичне подання | Опукла оболонка | Ядро | Симетрія | Підгрупа для одного складника |
Двоїстий |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Два тетраедри (зірчастий октаедр) | 
|
|
Куб | Октаедр | *432 [4,3] O h |
*332 [3,3] T d |
Самодвоїстий |
| П'ять тетраедрів | 
|
|
Додекаедр | Ікосаедр | 532 [5,3] + I |
332 [3,3] + T |
Енантіоморфнийхіральний двійник |
| Десять тетраедрів | 
|
|
Додекаедр | Ікосаедр | *532 [5,3] I h |
332 [3,3] T |
Самодвоїстий |
| П'ять кубів[en] | 
|
|
Додекаедр | Ромботриаконтаедр | *532 [5,3] I h |
3*2 [3,3] T h |
П'ять октаедрів |
| П'ять октаедрів[en] | 
|
|
Ікосододекаедр | Ікосаедр | *532 [5,3] I h |
3*2 [3,3] T h |
П'ять кубів |
Найвідомішим є з'єднання двох тетраедрів. Кеплер назвав це з'єднання латиною stella octangula (зірчастий октаедр). Вершини двох тетраедрів задають куб, а їх перетин є октаедром, грані якого лежать на тих самих площинах, що й грані складових тетраедрів. Таким чином, з'єднання є зведенням до зірчастої форми октаедра і фактично його єдиним можливим зведенням.
Зірчастий октаедр можна також розглядати як двоїсто-правильне з'єднання.
З'єднання п'яти тетраедрів має дві дзеркальні версії, які разом дають з'єднання десяти тетраедрів. Всі з'єднання тетраедрів самодвоїсті, а з'єднання п'яти кубів двоїсте з'єднанню п'яти октаедрів.
Двоїсте з'єднання — це з'єднання многогранника і двоїстого йому, розташованих взаємно протилежно відносно спільної вписаної або напіввписаної сфери, так що ребро одного многогранника перетинає двоїсте ребро двоїстого многогранника. Існує п'ять таких з'єднань правильних многогранників.
| Компоненти | Малюнок | Опукла оболонка | Ядро | Симетрія |
|---|---|---|---|---|
| Два тетраедри (зірчастий октаедр) |
|
Куб | Октаедр | *432 [4,3] Oh |
| Куб і октаедр[en] | 
|
Ромбододекаедр | Кубооктаедр | *432 [4,3] Oh |
| додекаедр та ікосаедр[en] |
|
Ромботріаконтаедр | Ікосододекаедр | *532 [5,3] Ih |
| великий ікосаедр і великий зірчастий додекаедр[en] |
|
Додекаедр | Ікосододекаедр | *532 [5,3] Ih |
| малий зірчастий додекаедр і великий додекаедр[en] |
|
Ікосаедр | Додекаедр | *532 [5,3] Ih |
Тетраедр самодвоїстий, отже, двоїсте з'єднання тетраедра з двоїстим йому є також зірчастим октаедром.
Двоїсті з'єднання куб-октаедр та додекаедр-ікосаедр є ззірченнями кубооктаедра та ікосододекаедра відповідно.
З'єднання малого зірчастого додекаедра і великого додекаедра виглядає зовні як той самий малий зірчастий додекаедр, оскільки великий додекаедр міститься повністю всередині нього. Тому зображення малого зірчастого додекаедра, наведене вище, показано у вигляді реберного каркаса.
1976 року Джон Скіллінг (John Skilling) опублікував статтю Однорідні з'єднання однорідних многогранників[1], у якій перерахував 75 з'єднань (серед них 6 нескінченних множин призматичних з'єднань, № 20-25), отриманих з однорідних многогранників за допомогою обертань. (Кожна вершина є вершинно-транзитивною[en].) Список включає п'ять з'єднань правильних многогранників зі списку вище[1].
Ці 75 однорідних з'єднань наведено в таблиці нижче. У більшості з'єднань різні кольори відповідають різним складникам. Деякі хіральні пари розфарбовано згідно з дзеркальною симетрією.
- 1-19: суміш (4,5,6,9,17 є п'ятьма правильними з'єднаннями)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 20-25: симетрія призм, вкладена в діедричну симетрію в тривимірному просторі[en],
|
|
|
|
|
|
- 26-45: симетрія призм, укладена в октаедричну[en] або ікосаедричну[en] симетрію,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 46-67: тетраедрична симетрія, вкладена в октаедричну або ікосаедричну симетрію,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 68-75: енантіоморфні пари
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| З'єднання чотирьох кубів (ліворуч) не є ні правильним, ні двоїстим, ні однорідним з'єднанням. Двоїсте йому з'єднання чотирьох октаедрів (праворуч) однорідне. | |
- З'єднання трьох октаедрів[en]
- З'єднання чотирьох кубів
Два многогранники, які є з'єднаннями, але їх елементи строго вкладені в малий складний ікосододекаедр[en] (з'єднання ікосаедра та великого додекаедра) і великий складний ікосододекаедр[en] (з'єднання малого зірчастого додекаедра і великого ікосаедра). Якщо прийняти узагальнене визначення однорідного багатогранника, вони будуть однорідними.
Розділ ентіаноморфних пар у списку Скіллінга не містить з'єднань двох великих кирпатих додекоікосододекаедрів[en], оскільки грані- пентаграми збігаються. Видалення граней, що збігаються, приведе до з'єднання двадцяти октаедрів[en].
|
|
| 75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
|---|
У чотиривимірному просторі існує багато правильних з'єднань правильних політопів. Коксетер перерахував деякі з них у своїй книзі Правильні многогранники[en][2].
Самодвоїсті:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 120 п'ятикомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті пари:
| З'єднання 1 | З'єднання 2 | Симетрія |
|---|---|---|
| 3 шістнадцятикомірники[3] | 3 тесеракти | [3,4,3], порядок 1152 |
| 15 шістнадцятикомірників | 15 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 75 шістнадцятикомірників | 75 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 300 шістнадцятикомірників | 300 тесерактів | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 600 шістнадцятикомірників | 600 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 25 двадцятичотирьохкомірників | 25 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Однорідні з'єднання з опуклими чотиривимірними многогранниками:
| З'єднання 1 вершинно-транзитивне[en] |
З'єднання 2 комірково-транзитивне[en] |
Симетрія |
|---|---|---|
| 2 шістнадцятикомірники | 2 тесеракти | [4,3,3], порядок 384 |
| 100 двадцятичотирьохкомірників | 100 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 200 двадцятичотирьохкомірників | 200 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 шестисоткомірників | 5 стодвадцятикомірників | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 10 шестисоткомірників | 10 стодвадцятикомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті позиції:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 2 п'ятикомірники {{3,3,3}} |
[[3,3,3]], порядок 240 |
| 2 двадцятичотирьохкомірників
{{3,4,3}} |
[[3,4,3]], порядок 2304 |
Самодвоїсті зірчасті з'єднання:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 5 {5,5/2,5}[en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {5,5/2,5}[en] | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 {5/2,5,5/2}[en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {5/2,5,5/2}[en] | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті пари з'єднань зірок:
| З'єднання 1 | З'єднання 2 | Симетрія |
|---|---|---|
| 5 {3,5,5/2} | 5 {5/2,5,3} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3} | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 {5,5/2,3} | 5 {3,5/2,5} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {5,5/2,3} | 10 {3,5/2,5} | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 {5/2,3,5} | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {5/2,3,5} | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], порядок 14400 |
Однорідні з'єднання зірок :
| З'єднання 1 вершинно-транзитивне[en] |
З'єднання 2 комірково-транзитивне[en] |
Симетрія |
|---|---|---|
| 5 {3,3,5/2}[en] | 5 {5/2,3,3}[en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {3,3,5/2}[en] | 10 {5/2,3,3}[en] | [5,3,3], порядок 14400 |
У термінах теорії груп, якщо G — група симетрії з'єднання многогранників і група діє транзитивно на многогранник (так що будь-який многогранник може перейти в будь-якій іншій, як в однорідних з'єднаннях), тоді, якщо H є стабілізатором одного вибраного многогранника, многогранники можна визначити за орбітою G/H.
Існує вісімнадцять двопараметричних сімейств правильних з'єднань мозаїк на евклідовій площині. У гіперболічному просторі відомі п'ять однопараметричних сімейств та сімнадцять ізольованих мозаїк, але список не завершено.
Евклідові та гіперболічні сімейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p ціле) аналогічні сферичним зірчастим октаедрам, 2 {3,3}.
| Самодвоїсті | Двоїсті | Самодвоїсті | |
|---|---|---|---|
| 2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞,∞}[en] |
|
|
|
|
| 3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞,∞}[en] | |
|
|
| |
Відомим сімейством правильних евклідових з'єднань стільників у просторах розмірності п'ять і вище є нескінченне сімейство гіперкубічних стільників[en], що мають спільні вершини та грані. Таке з'єднання може мати довільне число гіперкубічних стільників.
Існують також двоїсто-правильні з'єднання мозаїк. Простим прикладом є E2-з'єднання шестикутної мозаїки та її двоїстої трикутної. Евклідове з'єднання двох гіперкубічних стільників правильне і двоїсто правильне.
- ↑ Skilling, 1976, с. 447–457.
- ↑ Coxeter, 1973, с. 305, Таблица VII.
- ↑ Richard Klitzing, Uniform compound Звёздчатый икосаэдр [Архівовано 2016-03-04 у Wayback Machine.]
- John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79 (29 листопада). — DOI:..
- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.
- Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge : Cambridge University Press, 1983. — P. 51–53..
- Michael G. Harman. Polyhedral Compounds. — unpublished manuscript, 1974..
- Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. — Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. — 1876. — Т. 11. — С. 5–97.
- H.S.M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. стор. 87 Five regular compounds
- MathWorld: Polyhedron Compound
- Compound polyhedra — від Virtual Reality Polyhedra
- Skilling's 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
- Skilling's Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
- Polyhedral Compounds
- http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
- Compound of Small Stellated Dodecahedron and Great Dodecahedron {5/2,5}+{5,5/2}