Задання групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Задання групи  — в математиці спосіб визначення групи за допомогою множини породжуючих елементів S, таких що кожен елемент групи може бути записаний через добуток цих елементів, і множини співвідношень породжуючих елементів R. Як правило, таке задання позначається так:

Задання групи є дуже компактним і зручним способом визначення групи, проте із задання групи часто важко встановити навіть найпростіші властивості групи, зокрема чи є група скінченною, комутативною, тривіальною і т. д. Особливо часто задання груп використовується в комбінаторній і геометричній теорії груп, а також топології.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Нехай T  — деяка множина, а <S>  — вільна група над цією множиною. Нехай тепер R  — деяка множина слів над S тобто деяка підмножина <S>. Позначимо через N нормальне замикання множини R, тобто мінімальну нормальну підгрупу групи <S>, що містить всі елементи R. Визначимо тепер факторгрупу:

Елементи множини S називаються породжуючими(генеруючими) елементами, а елементи R співвідношеннями. Якщо деяка група ізоморфна до побудованої вище групи то кажуть, що ця група має задання Якщо  — деякий елемент множини співвідношень то часто пишуть r=1. Також використовується вираз x=y де і

Властивості[ред.ред. код]

  • Для кожної групи існує задання
Справді нехай G деяка група. Позначимо через <G> вільну групу над множиною елементів G. Тоді згідно з властивостями вільної групи одиничне відображення з G в G єдиним чином продовжується до гомоморфізму з <G> в G. Позначимо тепер R множину елементів <G>, що входять до ядра цього гомоморфізму. Тоді <G|R> є одним із способів задання групи. Зрозуміло, що це задання є дуже надлишковим.
  • Теорема Діка. Якщо , а (тобто множини породжуючих елементів у двох груп однакові і множина співвідношень групи H містить всі співвідношення групи G і, можливо ще й інші) тоді H ізоморфна деякій факторгрупі <G>.
Справді якщо N нормальне замикання R, а N' нормальне замикання , тоді Тоді згідно з теоремою про ізоморфізм маємо що й доводить твердження.

Приклади[ред.ред. код]

В поданій нижче таблиці показані деякі задання груп. Для усіх груп вибрані найпростіші задання.

Група Задання групи Коментарі
Вільна група на множині S Група вільна бо немає співвідношень.
Cn, циклічна група порядку n
D2n, дігедральна група порядку 2n r- поворот, f - симетричне відображення
D, безмежна дігедральна група
Dicn, діциклічна група
Z × Z
Zm × Zn
Вільна абелева група S де R множина всіх комутаторів елементів S
Симетрична група, Sn породжуючі елементи:
співвідношення:
  • ,
  • ,
Тут перестановка, що міняє місцями i -ий елемент з i+1 -им.
the braid group, Bn породжуючі елементи:

співвідношення:

  • ,
Тетраедральна група, TA4
Октаедральна група, OS4
Ікосаедральна група, IA5
Група кватерніонів, Q
PSL2(Z) є вільним добутком циклічних груп Z2 і Z3
Група Гейзенберга
Група Баумслага-Солітера, B(m,n)
Група Тітса

Скінченнопороджені і скінченнозадані групи[ред.ред. код]

  • Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжуючих елементів, то така група називається скінченнопородженою.
  • Якщо для деякої групи існує задання зі скінченною множиною породжуючих елементів і скінченною множиною співвідношень, то така група називається скінченнозаданою.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
  • Johnson, D. L. (1990). Presentations of Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37824-9
  • Курош А. Г. Теория Групп, М.: Наука 1967 г.