Задача Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Розв'язання задачі Діріхле на кільці з крайовими умовами: ,

Задача Діріхле — вид задач, що з'являється при розв'язанні диференціального рівняння з частинними похідними другого порядку. Названа на честь Йоганна Діріхле.

Постановка задачі[ред. | ред. код]

Задача Діріхле ставиться в такий спосіб: нехай в області задано рівняння

де  — оператор Лапласа. З крайовими умовами:

Така задача називається внутрішньою задачею Діріхле або першою крайовою задачею. Самі умови називаються умовами Діріхле або першими крайовими умовами. Друга назва може трактуватися ширше, вказує на будь-яку задачу розв'язання диференціального рівняння, коли відомо значення шуканої функції на всій границі області. У випадку, коли треба знайти значення функції поза областю задача називається зовнішньою задачею Діріхле.

Пов'язані теореми[ред. | ред. код]

Теорема.
Розв'язання задачі Діріхле, внутрішньої або зовнішньої, єдине[1]

Аналітичне розв'язання[ред. | ред. код]

Аналітично задача Діріхле може бути розв'язана за допомогою теорії потенціалу. Розв'язання однорідного рівняння можна представити у вигляді[1]:

,

де  — функція Гріна для оператора Лапласа в області .

Чисельне розв'язання[ред. | ред. код]

Побудова аналітичного виразу для функції Гріна в складних областях може викликати труднощі, тому для розв'язання таких задач доводиться користуватися чисельними методами. Для кожного методу свої особливості врахування перших крайових умов:

  • В методі скінчених різниць для вузлів на границі області записується рівняння , де  — номер відповідного вузла.
  • В методі скінчених елементів такі крайові умови називають головними крайовими умовами і вони враховуються на етапі складання матриці, для всіх ваг пов'язаних з границею рівняння замінюються на рівняння виду , далі виконується кілька кроків методом Гауса, щоб отримана матриця була симетричною[2].

Фізична інтерпретація[ред. | ред. код]

Фізична інтерпретація умов Діріхле — поведінка шуканої величини на границі:

  • Температура, якщо розглядається рівняння теплопровідності
  • Поле швидкості, якщо розглядається рівняння Стокса
  • Магнітне поле або електричне поле, якщо розглядається деяке рівняння, що отримується з рівнянь Максвелла (тоді крайові умови називають магнітними або електричними крайовими умовами, відповідно).

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б М. М. Смирнов. Диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку. — Москва : Наука, 1964.
  2. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г.. Метод скінчених елементів для скалярних і векторних задач. — Новосибірськ : НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.