Задача Діріхле

Задача Діріхле — вид задач, що з'являється при розв'язанні диференціального рівняння з частинними похідними другого порядку. Названа на честь Йоганна Діріхле.

Постановка задачі

Задача Діріхле ставиться в такий спосіб: нехай в області $\Omega$ задано рівняння

\Delta u=0

де $\Delta$ — оператор Лапласа. З крайовими умовами:

{\Bigl .}u{\Bigr |}_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} )

Така задача називається внутрішньою задачею Діріхле або першою крайовою задачею. Самі умови називаються умовами Діріхле або першими крайовими умовами. Друга назва може трактуватися ширше, вказує на будь-яку задачу розв'язання диференціального рівняння, коли відомо значення шуканої функції на всій границі області. У випадку, коли треба знайти значення функції поза областю $\Omega$ задача називається зовнішньою задачею Діріхле.

Пов'язані теореми

Теорема.
Розв'язання задачі Діріхле, внутрішньої або зовнішньої, єдине^[1]

Аналітичне розв'язання

Аналітично задача Діріхле може бути розв'язана за допомогою теорії потенціалу. Розв'язання однорідного рівняння можна представити у вигляді^[1]:

u(\mathbf {x} )=\int _{\partial \Omega }{g(\mathbf {x} ){\frac {\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial n}}dx}

,

де $G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ — функція Гріна для оператора Лапласа в області $\Omega$ .

Чисельне розв'язання

Побудова аналітичного виразу для функції Гріна в складних областях може викликати труднощі, тому для розв'язання таких задач доводиться користуватися чисельними методами. Для кожного методу свої особливості врахування перших крайових умов:

В методі скінчених різниць для вузлів на границі області записується рівняння $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ , де $i$ — номер відповідного вузла.
В методі скінчених елементів такі крайові умови називають головними крайовими умовами і вони враховуються на етапі складання матриці, для всіх ваг пов'язаних з границею рівняння замінюються на рівняння виду $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$ , далі виконується кілька кроків методом Гауса, щоб отримана матриця була симетричною^[2].

Фізична інтерпретація

Фізична інтерпретація умов Діріхле — поведінка шуканої величини на границі:

Температура, якщо розглядається рівняння теплопровідності
Поле швидкості, якщо розглядається рівняння Стокса
Магнітне поле або електричне поле, якщо розглядається деяке рівняння, що отримується з рівнянь Максвелла (тоді крайові умови називають магнітними або електричними крайовими умовами, відповідно).

Див. також

Примітки

1 2 М. М. Смирнов. Диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку. — Москва : Наука, 1964.
↑ Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г.. Метод скінчених елементів для скалярних і векторних задач. — Новосибірськ : НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.

Література

Перестюк М. О.; Маринець В. В. (2006). Теорія рівнянь математичної фізики (PDF). Київ: Либідь. с. 424. ISBN 966-06-0411-4.(укр.)
Мельник Т. А.; Креневич А. П. (2019). Теорія просторів Соболєва та узагальнені розв'язки крайових задач. Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 200. ISBN 978-966-933-056-7.
Володимир Ігорович Арнольд. Звичайні диференціальні рівняння. — 2026. — 394 с.(укр.)

[smirnov-1] 1 2 М. М. Смирнов. Диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку. — Москва : Наука, 1964.

[fem-2] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г.. Метод скінчених елементів для скалярних і векторних задач. — Новосибірськ : НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.

[1]

[2]