Задача Штурма — Ліувілля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.
Розглянемо оператор ,
перепишемо його у вигляді: та введемо додаткові умови .
Надалі будемо вважати, що крім того,

Формулювання ЗШЛ[1][ред.ред. код]

Знайти значення параметра при яких існують нетривіальні розв'язки задачі , такі, що і знайти ці розв'язки.
Введемо область визначення оператора :
, які задовольняють крайові умови
, і такі, що .

Властивості оператора ЗШЛ[2][ред.ред. код]

  1. Якщо довільні функції належать області , то має місце рівність:

.

  1. Оператор ЗШЛ є самоспряженим, тобто виконується .
  2. Оператор ЗШЛ є додатньовизначеним: .

Власні значення та власні функції ЗШЛ[2][ред.ред. код]

Вказані вище значення параметра називається власними значеннями ЗШЛ, а відповідні їм розв'язки — власними функціями цієї задачі.

Основні властивості власних значень і власних функцій ЗШЛ[3][ред.ред. код]

  1. Власні значення ЗШЛ утворюють зліченну множину.
  2. Власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні між собою з вагою , тобто , де  — власні функції.
  3. Власні значення ЗШЛ — дійсні та невід'ємні.
  4. Власні значення ЗШЛ — прості, тобто одному власному значенню не може відповідати дві і більше лінійно незалежних власних функції.
  5. Власні функції ЗШЛ можна вибрати дійсними.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512с.
  2. а б Кошляков Н. С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712с.
  3. Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2001. — 336 с.