Закон Гука

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Закон Гука: сила пропорційна видовженню
Коливання гармонічного осцилятора, для якого справедливий закон Гука

Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями.

Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій.

Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану[ред.ред. код]

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого стрижня або пружини

  F = - k x,

де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.

Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений.

Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижня на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:

 \sigma = E \frac{\Delta l}{l} = E \epsilon ,

де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;

 \epsilon = \frac{\Delta l}{l}  — величина відносної деформації (відносне видовження);
E — модуль Юнга.

Закон Гука для тривимірного напруженого стану[ред.ред. код]

Закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь:

для лінійних деформацій

\epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]

\epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]

\epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]
для деформацій зсуву

\gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}

\gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}

\gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}

де:

ε — деформація розтягу-стиску в точці,
σ — напруження розтягу-стиску,
γ — деформація зсуву (кутова) в точці,
τ — напруження зсуву (дотичне напруження) в точці,
G — модуль зсуву,
E — модуль Юнга
\nu — коефіцієнт Пуассона.

Закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.

Строга форма запису закону Гука[ред.ред. код]

 \sigma_{ik} = \sum_{lm} \lambda_{iklm} \varepsilon_{lm} ,

де  \sigma_{ik}  — тензор механічних напружень,  \varepsilon_{lm}  — тензор деформації, а  \lambda_{iklm}  — тензор чертвертого рангу, який називається тензором модулів пружності і є характеристикою речовини.

Закон Гука був сформульований Робертом Гуком у 1660.

Див. також[ред.ред. код]

Пружність
Пружні сили
Тензор механічних напружень
Тензор деформації
Модулі пружності

Посилання[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.