Закон Пуазейля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Схематичне зображення поля швидкостей для флюїду, що протікає через капіляр. Пропелери вказують завихрення.

Зако́н Пуазе́йля — фізичний закон, що встановлює для ламінарної течії зв'язок між середньою швидкістю протікання рідини (або витратою) через капіляр та в'язкістю флюїду у залежності від перепаду тиску:

,

де Q — об'єм флюїду, що протікає в одиницю часу (об'ємна витрата) через капіляр радіусом R та довжиною L при різниці тисків на кінцях капіляра ,  — коефіцієнт динамічної в'язкості.

Формулюється наступним чином:

Об'ємна витрата рідини, що протікає прямолінійною ділянкою труби з круглим перетином сталого діаметру є прямо пропорційною перепаду тиску і четвертому степеню діаметра (радіуса) труби і обернено пропорційною її довжині.

Закон відкрив у 1838 Жан Марі Луї Пуазейль і, незалежно, в 1839 Ґоттгільф Гаґен.

Рівняння також відоме як закон Гаґена-Пуазейля або рівняння Пуазейля.

Основні допущення[ред.ред. код]

При отриманні рівняння закону Пуазейля зроблено такі допущення:

  • потік є ламінарним і одновимірним (має тільки одну компоненту швидкості) у каналі, що має вигляд прямого кругового циліндра або шару між паралельними площинами (ще має назву «потік Пуазейля»);
  • рідина є ідеально в'язкою (ньютонівською) і нестисливою;
  • довжина потоку суттєво більша за його поперечний розмір.

Постановка задачі[ред.ред. код]

Розглядається усталений рух нестисливої рідини з постійною в'язкістю в тонкій циліндричній трубці круглого перерізу під дією постійного перепаду тиску. На основі зроблених вище допущень можна аналітично описати розподіл швидкості у потоці що має параболічний профіль (часто називають «профіль Пуазейля»), а для круглого перерізу розподіл швидкості в залежності від відстані до осі каналу:

де

  •  — швидкість рідини на відстані r від осі труби;
  •  — радіус трубопроводу;
  •  — різниця тисків на вході і на виході з труби;
  •  — в'язкість рідини;
  •  — довжина труби.

Такий же профіль (у відповідних позначеннях) має швидкість при протіканні між двома нескінченними паралельними площинами.

Способи отримання рівняння[ред.ред. код]

Шляхом інтегрування закону розподілу швидкості[ред.ред. код]

Рівняння закону Пуазейля можна отримати шляхом інтегрування по площі перерізу записаного вище рівняння розподілу швидкості в залежності від радіуса для круглоциліндричної труби:

где

  •  — витрата рідини у трубопроводі;
  •  — діаметр трубопроводу.

На основі формули Дарсі-Вейсбаха[ред.ред. код]

Такий же результат можна отримати з феноменологічної формули Дарсі-Вейсбаха, враховуючи вираз для коефіцієнта гідравлічного тертя записаного через число Рейнольдса Re

де число Рейнольдса

З рівнянь Нав'є-Стокса[ред.ред. код]

Рівняння Пуазейля можна отримати безпосередньо з рівняннь Нав'є-Стокса в циліндричних координатах, зробивши наступний набір припущень:

  1. Потік є стаціонарним ().
  2. Радіальна і вихрова компоненти швидкості рівні нулю ().
  3. Потік є осесиметричним () і повністю стабілізованим по довжині ().

Тоді друге (рівняння кута повороту) з трьох рівнянь Нав'є-Стокса у циліндричних координатах і рівняння неперервності виконуються автоматично. Перше рівняння (рівняння радіуса) спрощується до , оскільки, тиск є лише функцією осьової координати . Третє рівняння зводиться до вигляду:

де динамічна в'язкість рідини.

Розв'язок:

З граничних умов при , . За відсутності ковзання на стінці труби при (радіус труби), отримаємо

Таким чином, отримуємо параболічний закон розподілу швидкості:

Максимальна швидкість знаходиться на осі труби ():

Середня швидкість може бути визначена шляхом інтегрування рівняння по площі перерізу:

Знаходимо спад тиску на круглій трубі довжиною , через середню швидкість потоку в трубі та інші параметри. Допустивши, що тиск зменшується лінійно по всій довжині труби, тобто (constant). Підставивши це і вираз для у рівняння для визначення та врахувавши, що , отримаємо

Шляхом незначних перетворень з цього рівняння отрмується рівняння закону Пуазейля.

Електро-гідравлічна аналогія[ред.ред. код]

Закон Пуазейля є аналогом закону Ома для електричних кіл (V = IR), де перепад тиску ΔP виступає аналогом напруги V а об'ємна витрата потоку Q аналогом струму I. Тоді активний опір трубопроводу довжиною L і діаметром D запишеться як:

Використання[ред.ред. код]

Закон Пуазейля використовують для визначення в'язкості флюїдів. Закон також відіграє важливу роль в таких розділах фізіології, як гемореологія та гемодинаміка.

Джерела[ред.ред. код]

  • Левицький Б. Ф., Лещій Н. П. Гідравліка. Загальний курс. — Львів: Світ, 1994. — 264с. ISBN 5-7773-0158-4
  • Константінов Ю. М., Гіжа О. О. Технічна механіка рідини і газу: Підручник. — К.: Вища школа, 2002. — 277с.:іл. ISBN 966-642-093-7
  • Кулінченко В. Р. Гідравліка, гідравлічні машини і гідропривід: Підручник.-Київ: Фірма «Інкос», Центр навчальної літератури, 2006. — 616с. ISBN 966-8347-38-2
  • Колчунов В. І. Теоретична та прикладна гідромеханіка: Навч. Посібник. — К.:НАУ, 2004. — 336с. ISBN 966-598-174-9

Див. також[ред.ред. код]

Формула Дарсі-Вейсбаха