Залишково скінченна група

У теорії груп група $G$ є скінченно апроксимовна або залишково скінченною, якщо для кожного елемента $g$, який не є одиницею в $G$, існує гомоморфізм $h$ з $G$ у скінченну групу такий, що

$h(g)\neq 1.$

Існує ряд еквівалентних означень:

• Група є скінченно апроксимовною, якщо для кожного неодиничного елемента групи існує нормальна підгрупа скінченного індексу, що не містить цей елемент.
• Група скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли перетин усіх її підгруп скінченного індексу є тривіальним.
• Група скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли перетин усіх її нормальних підгруп скінченного індексу є тривіальним.
• Група є скінченно апроксимовною тоді і лише тоді, коли вона може бути вкладена всередину прямого добутку сім'ї скінченних груп.

Приклади

Прикладами скінченно апроксимовних груп є скінченні групи, вільні групи, скінченно породжені нільпотентні групи, поліциклічні скінченні групи, скінченно породжені лінійні групи та фундаментальні групи компактних 3-вимірних многовидів. Підгрупи скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовними, і прямі добутки скінченно апроксимовних груп також є скінченно апроксимовними. Будь-яка проєктивна границя скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовною. Зокрема, усі проскінченні групи є скінченно апроксимовними.

Можна побудувати приклади груп, які не є скінченно апроксимовними, якщо використати факт, що всі скінченно породжені скінченно апроксимовні групи є групами Гопфа. Наприклад, група Баумслага — Солітера ${\rm {BS}}(2,3)$ не є гопфівською, а отже, не скінченно апроксимовна.

Проскінченна топологія

Будь-яку групу $G$ можна перетворити на топологічну групу, якщо взяти за базис відкриті околи одиниці, набір усіх нормальних підгруп скінченного індексу в групі $G.$ Отримана топологія називається проскінченною топологією на групі $G$. Група скінченно апроксимовна тоді й лише тоді, коли її проскінченна топологія ― гаусдорфова.

Група, циклічні підгрупи якої замкнуті в проскінченній топології, позначається як $\Pi _{C}$. Групи, в яких будь-яка скінченно породжена підгрупа є замкнутою в проскінченній топології, називаються підгруп сепарабельними (також $LERF$ ― локально розширеними скінченно апроксимовними). Група, в якій будь-який клас спряженості є замкненим у проскінченній топології, називається сепарабельно спряженою.

Многовиди скінченно апросимовних груп

На питання «Які властивості многовиду всіх скінченно апроксимовних груп?» є дві відповіді:

• Будь-який многовид, що містить лише скінченно апроксимовні групи, породжується $A$-групою.
• Якщо многовид включає лише скінченно апроксимовні групи, то цей многовид містить скінченну групу таку, що всі її члени вкладено в прямий добуток цієї скінченної групи.

Властивості

• Теорема Мальцева. Будь-яка скінченно породжена підгрупа загальної лінійної групи є скінченно апроксимовною.
• Підгрупа скінченно апроксимовної групи є скінченно апроксимовною.
• Прямий добуток скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовним.
• Обернена границя скінченно апроксимовних груп є скінченно апроксимовною.
• Зокрема, проскінченні групи є скінченно апроксимовними.
• Будь-яка скінченно породжена скінченно апроксимовна група є гопфовою, тобто не має власних факторгруп, ізоморфних їй самій.

Див. також

• Локально скінченна група