Замкнута множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

За́мкнута множина́ — підмножина простору доповнення до якої відкрита.

Означення[ред.ред. код]

Нехай дано топологічний простір (X,\mathcal{T}). Множина V \subset X називаєтся замкнутою відносно топології \mathcal{T}, якщо існує відкрита множина U \in \mathcal{T}, така що V = X \setminus U.

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

Із аксіом означення топології випливає:

  • перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
  • об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною

Інші властивості:

  • множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в \mathbb{R}, [a,b) (при стандартній топології на \mathbb{R})
  • множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин (1989). Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: «Наука». 
  2. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  3. Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.