Збіжність випадкових величин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії ймовірностей існує декілька видів збіжності випадкових величин. Збіжність послідовності випадкових величин до деякої граничної випадкової величини має широке застосування у статистиці та теорії випадкових процесів.

Види збіжностей[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

Схема зв'язків між збіжностями:

\begin{matrix}
  \xrightarrow{L^s}  & \underset{s>r\geq1}{\Rightarrow} &  \xrightarrow{L^r}  &             & \\
                     &                                  &     \Downarrow      &             & \\
  \xrightarrow{M.H.} &            \Rightarrow           & \xrightarrow{\ p\ } & \Rightarrow & \xrightarrow{\ d\ }
  \end{matrix}

Список властивостей різних типів збіжностей:

  • Із збіжності майже напевно випливає збіжність за ймовірністю.

    X_n\ \xrightarrow{as}\ X  \quad\Rightarrow\quad  X_n\ \xrightarrow{p}\ X
  • Із збіжності за ймовірністю випливає існування підпослідовності, що збігається майже напевно.

    X_n\ \xrightarrow{p}\ X  \quad\Rightarrow\quad  X_{k_n}\ \xrightarrow{as}\ X
  • Із збіжності за ймовірністю випливає збіжність за розподілом.

    X_n\ \xrightarrow{p}\ X \quad\Rightarrow\quad  X_n\ \xrightarrow{d}\ X
  • Із збіжності в середньому випливає збіжність за ймовірністю.

    X_n\ \xrightarrow{L^r}\ X  \quad\Rightarrow\quad  X_n\ \xrightarrow{p}\ X
  • Із збіжності у середньому вищого порядку випливає збіжність у середньому нижчого порядку (обидва порядки мають бути не менше 1).

    X_n\ \xrightarrow{L^r}\ X  \quad\Rightarrow\quad  X_n\ \xrightarrow{L^s}\ X,
  за умови rs ≥ 1.
  • Із збіжності послідовності випадкових величин до константи випливає збіжність до константи за ймовірністю.

    X_n\ \xrightarrow{d}\ c \quad\Rightarrow\quad X_n\ \xrightarrow{p}\ c,
  • Якщо Xn збігається за розподілом до X та різниця між Xn та Yn збігається за ймовірністю до 0, то Yn теж збігається за розподілом до X.

    X_n\ \xrightarrow{d}\ X,\ \ |X_n-Y_n|\ \xrightarrow{p}\ 0\  \quad\Rightarrow\quad  Y_n\ \xrightarrow{d}\ X
  • Якщо Xn збігається за розподілом до X і Yn збігається за розподілом до константи c, тоді вектор (XnYn) збігається за розподілом до (X, c).

    X_n\ \xrightarrow{d}\ X,\ \ Y_n\ \xrightarrow{d}\ c\ \quad\Rightarrow\quad (X_n,Y_n)\ \xrightarrow{d}\ (X,c)

Зауваження: збіжність до константи, а не до випадкової величини - суттєва умова.

  • Якщо Xn збігається за ймовірністю до X та Yn збігається за ймовірністю до Y, тоді сумісний вектор (XnYn) збігається за ймовірністю до (XY).

    X_n\ \xrightarrow{p}\ X,\ \ Y_n\ \xrightarrow{p}\ Y\ \quad\Rightarrow\quad (X_n,Y_n)\ \xrightarrow{p}\ (X,Y)
  • Якщо Xn збігається за ймовірністю до X, та якщо P(|Xn| ≤ b) = 1 для всіх n та деякого b, тоді Xn збігається у середньому з r-м порядком до X для всіх r ≥ 1.
  • Якщо послідовність випадкових величин {Xn} збігається до X0 за розподілом, то можна побудувати новий ймовірнісний простір (Ω, F, P) та послідовність випадкових величин {Yn, n = 0,1,…} визначених на ньому, таку що Yn має такий самий розподіл як Xn для кожного n ≥ 0 та Yn збігається до Y0 майже напевно.
  • Якщо Sn - це сума n дійсних незалежних випадкових величин:
S_n = X_1+\cdots+X_n \,
тоді Sn збігається майже напевно тоді й лише тоді коли Sn збігається за ймовірністю.

\left. \begin{array}{ccc}
X_n\xrightarrow{a.s.} X
\\ \\
|X_n| < Y
\\ \\
\mathrm{E}(Y) < \infty
\end{array}\right\} \quad\Rightarrow \quad X_n\xrightarrow{L^1} X
  • Необхідна і достатня умова для збіжності у середньому 1-го порядку - це збіжність за ймовірністю X_n\xrightarrow{P} X та рівномірна інтегрованість послідовності Xn.