Збіжність випадкових величин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії ймовірностей існує декілька видів збіжності випадкових величин. Збіжність послідовності випадкових величин до деякої граничної випадкової величини має широке застосування у статистиці та теорії випадкових процесів.

Види збіжностей[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

Схема зв'язків між збіжностями:


Список властивостей різних типів збіжностей:

  • Із збіжності майже напевно випливає збіжність за ймовірністю.
  • Із збіжності за ймовірністю випливає існування підпослідовності, що збігається майже напевно.
  • Із збіжності за ймовірністю випливає збіжність за розподілом.
  • Із збіжності в середньому випливає збіжність за ймовірністю.
  • Із збіжності у середньому вищого порядку випливає збіжність у середньому нижчого порядку (обидва порядки мають бути не менше 1).
за умови rs ≥ 1.
  • Із збіжності послідовності випадкових величин до константи випливає збіжність до константи за ймовірністю.
  • Якщо Xn збігається за розподілом до X та різниця між Xn та Yn збігається за ймовірністю до 0, то Yn теж збігається за розподілом до X.
  • Якщо Xn збігається за розподілом до X і Yn збігається за розподілом до константи c, тоді вектор (XnYn) збігається за розподілом до (X, c).

Зауваження: збіжність до константи, а не до випадкової величини - суттєва умова.

  • Якщо Xn збігається за ймовірністю до X та Yn збігається за ймовірністю до Y, тоді сумісний вектор (XnYn) збігається за ймовірністю до (XY).
  • Якщо Xn збігається за ймовірністю до X, та якщо P(|Xn| ≤ b) = 1 для всіх n та деякого b, тоді Xn збігається у середньому з r-м порядком до X для всіх r ≥ 1.
  • Якщо послідовність випадкових величин {Xn} збігається до X0 за розподілом, то можна побудувати новий ймовірнісний простір (Ω, F, P) та послідовність випадкових величин {Yn, n = 0,1,…} визначених на ньому, таку що Yn має такий самий розподіл як Xn для кожного n ≥ 0 та Yn збігається до Y0 майже напевно.
  • Якщо Sn - це сума n дійсних незалежних випадкових величин:
тоді Sn збігається майже напевно тоді й лише тоді коли Sn збігається за ймовірністю.
  • Необхідна і достатня умова для збіжності у середньому 1-го порядку - це збіжність за ймовірністю та рівномірна інтегрованість послідовності Xn.