Збіжність за Борелем

Збіжність за Борелем — узагальнення поняття збіжності ряду, запропоноване французьким математиком Емілем Борелем. Загалом існує два нееквівалентні визначення, які пов'язують з іменем Бореля.

Визначення

• Нехай дано числовий ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд називається збіжним за Борелем (або B-збіжним), якщо існує границя:

$\lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}S_{k}=S,$ де S_k — часткові суми ряду. Число S тоді називається борелівською сумою ряду.

• Нехай дано числовий ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд називається збіжним за Борелем (або B^'-збіжним), якщо існує інтеграл:

$\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}t^{n}=S$

Приклад

Розглянемо ряд $\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.$ Цей ряд є розбіжним для довільного $x\neq 0.$ Проте за інтегральним визначенням збіжності за Борелем маємо:

$\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t}}{1-xt}},$

і сума є визначеною для від'ємних значень x.

Властивості

Нехай функція:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

регулярна в нулі і С — множина всіх її особливих точок. Через кожну точку $P\in C$ проведемо відрізок $OP\,$ і пряму $L_{p}\,,$ що проходить через точку Р перпендикулярно до $OP\,$. Множина точок, що лежать по одну сторону з нулем для кожної з прямих $L_{p}\,,$ позначимо $\Pi \,$. Тоді межа $\Gamma \,$ області $\Pi \,$ називається многокутником Бореля функції f(z), а область $\Pi \,$ її внутрішньою областю. Справедлива теорема: ряд

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

є B-збіжним в області $\Pi \,$ і не є B-збіжним в області $\Pi ^{*}\,$ — доповненні до $\Pi \,$ .

Див. також

• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Ейлером
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Посилання

• Borel summation method [Архівовано 19 червня 2010 у Wayback Machine.], in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Borel Summation [Архівовано 16 липня 2011 у Wayback Machine.]

Література

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)
• Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .