Збіжність за Борелем

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Збіжність за Борелем — узагальнення поняття збіжності ряду, запропоноване французьким математиком Емілем Борелем. Загалом існує два нееквівалентні визначення, які пов'язують з іменем Бореля.

Визначення[ред.ред. код]

  • Нехай дано числовий ряд Ряд називається збіжним за Борелем (або B-збіжним), якщо існує границя:
де Sk — часткові суми ряду. Число S тоді називається борелівською сумою ряду.
  • Нехай дано числовий ряд Ряд називається збіжним за Борелем (або B'-збіжним), якщо існує інтеграл:

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо ряд Цей ряд є розбіжним для довільного Проте за інтегральним визначенням збіжності за Борелем маємо:

і сума є визначеною для від'ємних значень x.

Властивості[ред.ред. код]

Нехай функція:

регулярна в нулі і Смножина всіх її особливих точок. Через кожну точку проведемо відрізок і пряму що проходить через точку Р перпендикулярно до . Множина точок, що лежать по одну сторону з нулем для кожної з прямих позначимо . Тоді межа області називається многокутником Бореля функції f(z), а область її внутрішньою областю. Справедлива теорема: ряд

є B-збіжним в області і не є B-збіжним в області — доповненні до .

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]