Збіжність за Чезаро

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Збіжність за Чезаро — узагальнення поняття збіжності числових і функціональних рядів, введене італійським математиком Ернесто Чезаро[1]. Фактично існує ціле сімейство визначень, що залежать від параметра k. Спершу збіжність була визначена Чезаро для цілих додатних значень параметра k і застосована до множення рядів. Пізніше поняття збіжності за Чезаро було поширено на довільні значення k у тому числі і на комплексні. Методи знаходження суми за Чезаро мають численні застосування: при множенні рядів, в теорії рядів Фур'є і інших питаннях.

Визначення[ред.ред. код]

Ряд \sum_{n=1}^\infty a_n називається збіжним за Чезаро порядку k або (C, k)-збіжним із сумою S, якщо:

\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^k}{E_n^k} = S

де A_n, E_n визначаються як коефіцієнти розкладу:

\sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}},
\sum_{n=0}^\infty E_n^\alpha x^n=(1-x)^{-1-k},

Властивості[ред.ред. код]

При k = 0 збіжність за Чезаро є звичайною збіжністю ряду, при k = 1 ряд є збіжним із сумою S, якщо \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k = S, де  s_k = a_1 + \cdots + a_k — часткові суми ряду .

Методи (C, k) знаходження суми ряду є цілком регулярними при k \geq 0 і не є регулярними при k < 0. Сила методу зростає із збільшенням k: якщо ряд є збіжним для k, то він є збіжним із тією ж сумою для k' при k' > k > -1.

При k <-1 ця властивість не зберігається.

Якщо ряд \sum_{n=1}^\infty a_n є (C, k)-збіжним, то a_n = o(n^k)\,.

Збіжність за Чезаро (C, k) рівносильна і сумісна зі збіжністю Гельдера (H, k) і Рісса (R, n, k) (k >0). При будь-якому k > -1 метод (C, k) ' слабшим за метод Абеля.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай an = (-1)n+1 for n ≥ 1. Тобто, {an} є послідовністю

1, -1, 1, -1, \ldots.\,

Послідовність часткових сум {sn} має вигляд:

1, 0, 1, 0, \ldots,\,

і очевидно, що даний ряд не збігається у звичному розумінні. Натомість членами послідовності {(s1 + ... + sn)/n} є

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

і загалом

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.

Отже ряд \sum_{n=1}^\infty a_n є збіжним за Чезаро з параметром 1 і його сума рівна 1/2.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Cesaro E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]