Збіжність за Чезаро

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Збіжність за Чезаро — узагальнення поняття збіжності числових і функціональних рядів, введене італійським математиком Ернесто Чезаро[1]. Фактично існує ціле сімейство визначень, що залежать від параметра k. Спершу збіжність була визначена Чезаро для цілих додатних значень параметра k і застосована до множення рядів. Пізніше поняття збіжності за Чезаро було поширено на довільні значення k у тому числі і на комплексні. Методи знаходження суми за Чезаро мають численні застосування: при множенні рядів, в теорії рядів Фур'є і інших питаннях.

Визначення[ред.ред. код]

Ряд називається збіжним за Чезаро порядку k або (C, k)-збіжним із сумою S, якщо:

де визначаються як коефіцієнти розкладу:

Властивості[ред.ред. код]

При k = 0 збіжність за Чезаро є звичайною збіжністю ряду, при k = 1 ряд є збіжним із сумою S, якщо де — часткові суми ряду .

Методи (C, k) знаходження суми ряду є цілком регулярними при і не є регулярними при . Сила методу зростає із збільшенням k: якщо ряд є збіжним для k, то він є збіжним із тією ж сумою для k' при k' > k > -1.

При k <-1 ця властивість не зберігається.

Якщо ряд є (C, k)-збіжним, то .

Збіжність за Чезаро (C, k) рівносильна і сумісна зі збіжністю Гельдера (H, k) і Рісса (R, n, k) (k >0). При будь-якому k > -1 метод (C, k) ' слабшим за метод Абеля.

Приклад[ред.ред. код]

Нехай an = (-1)n+1 for n ≥ 1. Тобто, {an} є послідовністю

Послідовність часткових сум {sn} має вигляд:

і очевидно, що даний ряд не збігається у звичному розумінні. Натомість членами послідовності {(s1 + ... + sn)/n} є

і загалом

Отже ряд є збіжним за Чезаро з параметром 1 і його сума рівна 1/2.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Cesaro E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)
  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
  • Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
  • Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
  • Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
  • Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .