Збіжність за мірою

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Збіжність за мірою (за ймовірностю) у функціональному аналізі, теорії ймовірності і суміжних дисциплінах — це вид збіжності вимірних функцій (випадкових величин) заданих на просторі з мірою (ймовірнісному просторі).

Визначення[ред.ред. код]

Хай — простір з мірою — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій збігається за мірою до функції , якщо: .

Позначення: .

У термінах теорії ймовірності, якщо даний імовірнісний простір з визначеними на ньому випадковими величинами , то говорять, що збігається за ймовірностю до , якщо

.

Позначення: .

Зауваження[ред.ред. код]

Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.

Властивості збіжності за мірою[ред.ред. код]

  • Якщо послідовність функцій збігається за мірою до , то в неї існує підпослідовність , що збігається до - майже всюди.
  • Якщо послідовність функцій збігається за мірою до , і , де , то , і збігається до у .
  • Якщо послідовність функцій збігається -майже усюди до , то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
  • Якщо послідовність функцій збігається в до , то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
  • Якщо послідовність випадкових величин збігається за ймовірністю до , то вона збігається до і за розподілом.

Джерела[ред.ред. код]