Зв'язність на векторних розшаруваннях

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Зв'язність на векторних розшаруваннях в диференціальній геометрії дозволяє ввести на довільних векторних розшаруваннях такі поняття як паралельне перенесення, тензори кривини і кручення і інші. Таким чином значна частина теорії і ідей може бути перенесена з гладких многовидів і їх дотичних розшарувань на векторні розшарування. Для зв'язності на векторних розшарування часто також використовується термін зв'язність Кошуля на честь французького математика Жана-Луї Кошуля.

Означення[ред. | ред. код]

Нехай EM — гладке векторне розшарування над диференційовним многовидом M. Позначимо множину гладких перетинів розшарування E як Γ(E). Звязністю на E називається ℝ-лінійне відображення

для якого також виконується правило добутку

для всіх гладких функцій f на многовиді M і всіх гладких перетинів σ розшарування E.

Зважаючи на властивості тензорних добутків векторних розшарувань і їх перетинів для області значень також можна дати еквівалентні інтерпретації:

де другий тензорний добуток та множина лінійних відображень визначені для модулів над кільцем гладких функцій на многовиді M, а позначає множину диференціальних 1-форм на M.

Зокрема, розглядаючи останній термін в цій еквівалентності, якщо X є векторним полем на M (тобто гладким перетином дотичного розшарування TM) можна ввести коваріантну похідну за напрямком X:

прийнявши ∇Xσ = (∇σ)(X). Дана коваріантна похідна задовольняє властивості:

Навпаки кожен оператор, що задовольняє ці властивості визначає зв'язність на E. Тобто еквівалентно зв'язність можна визначити як оператор

що задовольняє вказані умови.

Форма зв'язності[ред. | ред. код]

Нехай тепер відкрита підмножина, така що є тривіальним векторним розшаруванням. Якщо — гладкі перетини, такі що для кожної точки вектори утворюють базис векторного простору (такі множини перетинів називаються реперами на ), то з використанням позначень вище елементи тензорного добутку можна записати як для деяких

Відповідно для зв'язності на розшаруванні E на обмеженні можна записати:

де — елементи матриці, що називається формою зв'язності для і позначається A.

Навпаки для довільної матриці елементи якої належать і репера на , формула вище визначає зв'язність на

Оскільки можна однозначно записати як де , то отримуємо:

Побудова нових зв'язностей зі старих[ред. | ред. код]

  • Зворотне відображення. З гладким відображенням пов'язане векторне розшарування на , що позначається шаром якого в точці є шар E в точці . Зв'язність на E індукує зв'язність на . Для гладкого перетину s на E і для вектора , можна визначити :. Локальні перетини на породжуються перетинами виду і тому зв'язність визначена попередньою формулою лише для деяких перетинів продовжується до зв'язності визначеної всюди. Вона і називається зворотним відображенням зв'язності .

Якщо і — зв'язності визначені відповідно на векторних розшаруваннях E=E1 і E2 з єдиним базисним простором M, то також можна ввести зв'язності :

  • Зв'язність на прямій сумі , що позначається  :
 ;
  • Зв'язність на тензорному добутку , що позначається  :
 ;
  • Зв'язність на двоїстому розшаруванні E* :
 ;
  • Зв'язність на розшаруванні  :
.

Паралельне перенесення[ред. | ред. код]

Нехай додатково до всіх понять введених вище також — гладка крива і — відповідне дотичне поле. Довільний гладкий перетин тоді індукує перетин вздовж кривої

Зв'язність однозначно визначає оператор значення якого теж є гладким перетином вздовж кривої.

Перетин називається паралельним вздовж кривої , якщо виконується умова

Паралельний вздовж кривої перетин має задовольняти систему диференціальних рівнянь і з теорії цих рівнянь випливає існування і єдиність такого перетину для заданого початкового значення Таким чином для даної кривої визначено відображення з векторного простору у векторний простір , яке загалом залежить від кривої, що сполучає точки і введеної на розшаруванні зв'язності. Визначене таким чином відбраження є лінійним ізоморфізмом цих просторів. Більш загально лінійний ізоморфізм визначений між простором і просторами над усіма точками кривої . Ці відображення називають паралельними перенесенями векторів з вздовж кривої

Оператори вищих порядків[ред. | ред. код]

Нехай EM — векторне розшарування. На ньому можна визначити простори векторозначних диференціальних форм

Нехай також за означенням

Тоді в цих позначеннях зв'язність на EM є лінійним відображенням

На просторах можна ввести добуток. Нехай — векторні розшарування над многовидом M. Тоді можна ввести білінійний добуток

прийнявши

Також для множина є ізоморфною до множини .

Тоді існує єдина множина лінійних операторів

для яких виконуються умови:

А саме для дане відображення однозначно визначене як:

Ці відображення можна розглядати як узагальнення зовнішньої похідної, проте у цьому випадку не обов'язково (d)2 = 0. Натомість оператор (d)2 є пов'язаним з кривиною у векторних розшаруваннях.

Кривина[ред. | ред. код]

Кривиною зв'язності ∇ на EM є 2-форма F на M із значеннями в розшаруванні ендоморфізмів End(E) = EE*. Тобто

Її можна визначити рівністю

де X іY є векторними полями на M, а s є гладким перетином E.

Еквівалентно Дане відображення є -лінійним гомоморфізмом модулів.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Chern, Shiing-Shen (1951). Topics in Differential Geometry. Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes. 
  • Darling, R. W. R. (1994). Differential Forms and Connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46800-0. 
  • Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996) [1963]. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Classics Library. New York: Wiley Interscience. ISBN 0-471-15733-3. 
  • Koszul, J. L. (1950). Homologie et cohomologie des algebres de Lie. Bulletin de la Société Mathématique 78: 65–127. 
  • Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN 978-0521580595. 
  • Wells, R.O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.