Згортка тензора

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Згортка в тензорному численні — операція пониження валентності тензора на 2, котра переводить тензор валентності в тензор валентності . Згортку можна розглядати як узагальнення сліду матриці. В координатах вона записується таким чином:

де застосовано правило сумування Ейнштейна за різноваріантними індексами, що повторюються.

Часто операцію згортки проводять над тензорами, що є добутками тензорів. Наприклад, є запис звичайного множення матриці А на матрицю B (тобто ).

У випадку евклідового простору в ортогональній системі віднесення різниця між ко- і контраваріантними компонентами тензорів зникає, і згортку можна вести за будь-якими двома індексами. Проте, при роботі в криволінійних або косокутних координатах згортка знов визначається тільки у випадку, якщо один з індексів підсумовування верхній, а інший нижній. В метричному просторі ко- і контраваріантні індекси можна однозначно переводити один в одного, тому при використанні метричного тензора згортку можна вести також за будь-якою парою індексів.

Приклади[ред.ред. код]

  • Згортка тензора за двійкою індексів, за якими він анти(косо)симетричний, дає нульовий тензор.
  • Згортка вектора v із тензором A рангу (1,1) представляє множення вектора на лінійний оператор, яким є такий тензор по відношенню до вектора.