Змішаний об'єм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Змішаний об'єм в опуклій геометрії — невід'ємне число, яке співставляється набору з опуклих тіл в -мірному Евклідовому просторі. Число залежить від розмірів тіл та їх взаємного положення.[1]

Змішаний об'єм набору зазвичай позначається як

.

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай набір з опуклих тіл в і додатних дійсних чисел. Позначимо через об'єм тіла

де ""означає суму Мінковського і

Функція є однорідним многочленом степені . Коефіцієнт цього многочлена при за визначенням дорівнює .

Зауважимо, що

Властивості[ред. | ред. код]

  • Для довільних невід'ємних чисел ,
  • Змішаний об'єм інваріантний відносно паралельних переміщень тіл в наборі.
  • Змішаний об'єм монотонний з включенням тіл.
  • Змішаний об'єм неперервний відносно метрики Гаусдорфа.
  • Змішаний об'єм невід'ємний.
    • Більше того, тільки тоді, коли в кожному можна провести по відрізку так, щоб ці відрізки були

лінійно незалежні.

  • Для невід'ємного цілого змішаний об'єм копій опуклого тіл в і копій одиничної кулі виражається через середню поперечну міру . Зокрема
    • Змішаний об'єм набору з копій дорівнює звичайному об'єму .
    • Змішаний об'єм набору з копій і одиничної кулі дорівнює площі поверхні .
  • Типове число рішень системи поліноміальних рівнянь дорівнює змішаному об'єму многокутників Ньютона[en].
  • нерівність Мінковського
  • нерівність Александрова — Фенхеля

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Burago, Yu.D. (2001). Mixed volume theory. У Hazewinkel, Michiel (ред.). Математична енциклопедія. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.