Зовнішня алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Зо́внішня а́лгебра (алгебра Грассмана) — алгебраїчна система, що є узагальненням векторного добутку для лінійних просторів довільної розмірності. Вперше введена Грассманом.

Вводить асоціативну, білінійну та антикомутативну операцію зовнішнього добутку (позначається знаком ).

Визначення[ред.ред. код]

Зовнішня алгебра векторного простору над полем , це асоціативна алгебра над , для якої виконується:

Зовнішня алгебра позначається як і не залежить від вибору базиса.

Зв'язані визначення[ред.ред. код]

  • Для підпростір , з елементів виду , називається -им зовнішним ступенем простору .
  • Простір є прямою сумою підпросторів виду :

Властивості[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

.

Якщо є декартова площина з ортонормованим базисом:

Нехай

Тоді площа паралелограма основаного на векторах :

Для двох векторів і їх зовнішнім добутком називається антисиметричний тензор з двома індексами:

Величина (1) називається також бівектором.

Очевидно, що компоненти цього тензора є сукупністю мінорів наступної прямокутної матриці:

Формулу (1) можна узагальнити на більшу кількість співмножників (результуючий антисиметричний тензор має стільки ж індексів , скільки є співмножників):

Назвемо тензор (2) мультивектором. Компоненти мультивектра є сукупністю мінорів прямокутної матриці:

Основні властивості зовнішнього добутку[ред.ред. код]

Із властивостей визначників матриць можна зробити такі висновки:

Зовнішній добуток змінює знак на протилежний при перестановці будь-яких двох векторних співмножників:

Зовнішній добуток лінійний окремо за кожним із співмножників:

Зовнішній добуток дорівнює нулю, якщо його співмножники лінійно залежні:

зокрема якщо кількість співмножників більша за розмірність векторного простору , або якщо два будь-які співмножники збігаються:

Групування множників мультивектора[ред.ред. код]

Розглянемо цю властивість на прикладі тривектора . Із перших двох множників складаємо бівектор:

тоді компоненти тривектора запишуться так:

Отже зовнішній добуток бівектора на вектор визначається формулою:

Більш загально, розклад визначника по першому рядку дає формулу зовнішнього добутку вектора на мультивектор :

У кожному доданку суми у формулі (9) індекси мультивектора є вибіркою індекса з набору (за винятком того індекса, що стоїть біля вектора ).

Якщо число непарне, то внаслідок антисиметрії тензора формулу (9) можна записати ще так:

де квадратними дужками позначено суму по циклічних перестановках індексів (порівняйте з формулою (8)).

Також відмітимо зовнішній добуток двох бівекторів (викладки щодо розкриття визначника четвертого порядку пропускаємо):

Взагалі, якщо ми маємо зовнішній добуток мультивекторів рангів відповідно, то кількість доданків у формулі, що виражає компоненти зовнішнього добутку через компоненти співмножників, дорівнює:

Мультивектор як орієнтована -вимірна площадка[ред.ред. код]

Хай ми маємо наступний мультивектор, складений із векторів :

Цей мультивектор ненульовий тільки тоді, коли вектори лінійно незалежні, тобто вони визначають -вимірний лінійний підпростір. Складемо з цих векторів лінійних комбінацій:

і утворимо новий мультивектор із їхнього зовнішнього добутку:

В останній сумі відмінні від нуля лише ті доданки, в яких всі індекси різні, тобто є перестановкою чисел . Більше того, з точністю до знаку всі зовнішні добутки в правій частині формули (14) рівні величині:

а знак дорівнює , коли є парною перестановкою чисел , і дорівнює для непарних перестановок. Тому маємо:

Як бачимо, новий мультивектор пропорційний мультивектору . Він буде дорівнювати старому мультивектору, якщо:

Отже компоненти мультивектора не привязані до фіксованого набору векторів, але тільки до орієнтованого -вимірного підпростору, що проведений через ці вектори і скаляра - числа яке є нормою або величною мультивектора.

Підрахунок кількості параметрів[ред.ред. код]

Довільний антисиметричний тензор -рангу має таку кількість незалежних компонент:

Дійсно, для кожної виборки індексів із чисел ми можемо розмістити ці індекси в порядку зростання , і приписати довільне значення компоненті тензора . Значення компоненти тензора з цими ж індексами, але розміщеними в іншому порядку (переставленими індексами) легко обчислюється виходячи з властивості антисиметрії.

Тепер розглянемо мультивектор рангу . Його компоненти обчислюються за формулою (2) через чисел - координат векторів . Але оскільки ці вектори задаються неоднозначно, але з точністю до лінійної підстановки (13), то від добутку треба відняти число - кількість коефіцієнтів матриці переходу . І додати число 1, оскільки коефіцієнти матриці переходу зв'язані одним скалярним рівнянням (16). Таким чином, мультивектор залежить від такої кількості параметрів:

Відмітимо, що результат формул (17) і (18) не зміниться, якщо замінити на . Це наслідок існування дуальних об'єктів для антисиметричного тензора і для мультивектора.

Формули (17) і (18) дають однаковий результат для таких чотирьох значень рангу : скалярів (), векторів (), псевдовекторів () і псевдоскалярів (). Покажемо, що для всіх інших значень (звісно при ) кількість мультивекторів менша за кількість всіх антисиметричних тензорів (тобто існують тензори, що не є орієнтованими площадками). Для доведення скористаємося відомою комбінаторною рівністю:

Послідовно застосовуючи її, знаходимо для формули (17):

Позначимо , і знаходимо різницю:

Перший доданок у формулі (21) дорівнює нулю (при ), але в цій формулі наявні і інші доданки, оскільки . Усі ці інші доданки строго додатні, бо із (19) слідує нерівність:

Представлення довільного антисиметричного тензора сумою мультивекторів[ред.ред. код]

Нехай ми маємо довільний антисиметричний тензор рангу .

Розглянемо сукупність базисних векторів (індекси в дужках вгорі нумерують ці вектори, і не є координатами):

або в координатах:

З цих векторів утворимо сукупність мультивекторів рангу :

Кожен мультивектор (24) має відмінну від нуля тільки одну (з точністю до перестановок індексів) компоненту:

Тому тензор можна записати у вигляді суми:

Це представлення, разом із лінійністю зовнішнього добутку, дає змогу поширити зовнішній добуток на довільні антисиметричні тензори. Формули (8 - 10) і їм подібні залишаються справедливими і в випадку, коли ми вважаємо довільними антисиметричними тензорами.

Метричні властивості зовнішнього добутку[ред.ред. код]

Нехай у векторному просторі задано метричний тензор . Ми можемо розглядати довжини векторів і кути між ними, піднімати і опускати індекси тензорів.

Піднесемо до квадрата бівектор :

Визначник Грамма двох векторів дорівнює квадрату площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

Відмітимо формулу:

Тепер піднесемо до квадрата тривектор .

Визначник Грамма трьох векторів дорівнює квадрату об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. Норма бівектора задається формулою:

Узагальнення формули (30) на мультивектори більшого рангу очевидне. Норма зовнішнього добутку векторів дорівнює -мірному об'єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.

Мультивектор можна уявляти у вигляді орієнтованої -мірної площадки довільної форми, "площа" якої дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на векторах-множниках мультивектора.

Згортка мультивектора з вектором[ред.ред. код]

Розглянемо спочатку згортку тривектора з контраваріантним вектором . Результат згортки буде деякий тензор другого рангу:

Очевидно, що цей тензор антисиметричний. Доведемо, що він є бівектором, тобто знайдуться такі вектори що . Внаслідок лінійності визначника по останньому рядку маємо:

Якщо вектор ортогональний до тривектора, тобто до кожного з векторів , то останній рядок в матриці формули (32) буде нульовим, і згортка тривектора з вектором буде дорівнювати нулю.

Тепер нехай вектор буде не ортогональний до одного з векторів тривектора, наприклад . Ми можемо у визначнику в правій частині формули (32) відняти від першого і другого рядків третій рядок з таким коефіцієнтом, щоб перетворити число з третьої колонки в нуль:

Ми можемо внести множник всередину визначника, наприклад помноживши на перший стовпчик. Ми можемо взяти такі два вектора:

через зовнішній добуток яких виражається наш результат згортки тривектора з вектором:

Аналогічні викладки дають, що згортка будь-якого мультивектора з вектором є мультивектором на одиницю меншого рангу.

Внутрішній добуток мультивекторів[ред.ред. код]

Позначимо операцію згортки мультивектора з вектором крапкою, такою самою як і в позначенні скалярного добутку векторів:

і назвемо її внутрішнім добутком мультивектора на вектор.

Дослідимо властивості внутрішнього добутку. Якщо вектор ортогональний до підпростору, в якому лежить мультивектор , то результатом внутрішнього добутку буде нуль. В іншому разі (неортогональності) результат є мультивектором , який повністю лежить у підпросторі мультивектора (оскільки кожен з векторів у формулі (34) лежить в ). Спробуємо ще раз внутрішньо перемножити результат на той самий вектор :

Ми одержуємо нуль внаслідок антисиметричності мультивектора по індексах .

Порівняння з векторним добутком векторів у тривимірному просторі[ред.ред. код]

Розглянемо згортку бівектора з вектором:

а також властивість зовнішнього добутку трьох векторів:

Порівняємо з наступними формулами векторного добутку трьохмірних векторів:

Ми бачимо, що формули (40) і (41) аналогічні формулам (38) і (39), але якби переставлені. Ця переставленість виникає тому, що векторний добуток є дуальним тензором до бівектора:

де є одиничним антисиметричним тензором тривимірного простору.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.