Зірчастий многогранник

Тривимірна модель з'єднання п'яти тетраедрів

Зірча́стий многогра́нник (зірча́сте ті́ло) — неопуклий многогранник, грані якого перетинаються між собою. Як і в незірчастих многогранників, грані попарно з'єднуються в ребрах (при цьому внутрішні лінії перетину не вважають ребрами).

Термінологія

Зірчастою формою многогранника називають многогранник, отриманий продовженням граней даного многогранника через ребра до їх наступного перетину з іншими гранями по нових ребрах.

Правильний зірчастий многогранник — це зірчастий многогранник, гранями якого є однакові (конгруентні) правильні або зірчасті багатокутники. На відміну від п'яти класичних правильних многогранників (платонових тіл), ці многогранники не є опуклими тілами.

1811 року Оґюстен Коші встановив, що існують всього 4 правильних зірчастих тіла (їх називають тілами Кеплера — Пуансо), які не є з'єднаннями платонових і зірчастих тіл. До них належать відкриті 1619 року Йоганном Кеплером малий зірчастий додекаедр і великий зірчастий додекаедр, а також великий додекаедр і великий ікосаедр, відкриті 1809 року Луї Пуансо. Інші правильні зірчасті многогранники є або з'єднаннями платонових тіл, або з'єднаннями тіл Кеплера — Пуансо.

Напівправильні зірчасті многогранники — це зірчасті многогранники, грані яких є правильними або зірчастими багатокутниками, але не обов'язково однаковими. При цьому будова всіх вершин має бути однаковою (умова однорідності). Г. Коксетер, М. Лонге-Хіггінс і Дж. Міллер 1954 року перелічили 53 таких тіла і висунули гіпотезу про повноту свого списку. Тільки значно пізніше в 1969 році Сопов С. П. довів, що їхній список многогранників дійсно повний.

Багато форм зірчастих многогранників зустрічаються в природі. Наприклад, сніжинки — це плоскі проєкції зірчастих многогранників. Деякі молекули мають правильні структури об'ємних фігур.

На малюнках кожна грань для наочності пофарбована в інший колір.

Однорідні многогранники — правильні і напівправильні опуклі многогранники (платонові й архімедові тіла), правильні і напівправильні зірчасті многогранники разом називають однорідними многогранниками. У цих тіл всі грані є правильними багатокутниками (опуклими або зірчастими), а всі вершини однакові (тобто існують ортогональні перетворення многогранника в себе, які переводять будь-яку вершину в будь-яку іншу). Існує 75 однорідних многогранників.

Тетраедр і куб

Тетраедр і гексаедр (куб) не мають зірчастих форм, оскільки їх грані при продовженні через ребра більше не перетинаються.

Зірчастий октаедр

Існує тільки одна зірчаста форма октаедра. Зірчастий октаедр відкрив Леонардо да Вінчі, потім через майже 100 років заново відкрив Й. Кеплер і назвав Stella octangula — восьмипроменева зірка. Звідси ця форма має й другу назву: «stella octangula Кеплера»; по суті вона є з'єднанням двох тетраедрів.

Зірчасті форми додекаедра

Додекаедр має 3 зірчасті форми: малий зірчастий додекаедр, великий додекаедр, великий зірчастий додекаедр (зірчастий великий додекаедр, завершальна форма). На відміну від октаедра, будь-яка з зірчастих форм додекаедра не є з'єднанням платонових тіл, а утворює новий многогранник.

У великого додекаедра гранями є п'яткутники, які сходяться по п'ять у кожній з вершин. У малого зірчастого і великого зірчастого додекаэдрів грані — п'ятипроменеві зірки (пентаграми), які в першому випадку сходяться по 5, а в другому по 3 грані в одній вершині.

Вершини великого зірчастого додекаедра збігаються з вершинами описаного додекаедра.

Зірчасті форми ікосаедра

Ікосаедр має 59 зірчастих форм, з яких 32 мають повну, а 27 — неповну ікосаедральну симетрію, що довів Коксетер спільно з дю Валем, Флезером (H.T. Flather) і Петрі (John Flinders Petrie) із застосуванням правил обмеження, встановлених Дж. Міллером. Одна з цих зірчастих форм (20-а, модель 41 за Веннінґером), звана великим ікосаедром (див. рисунок), є одним з чотирьох правильних зірчастих многогранників Кеплера — Пуансо. Його гранями є правильні трикутники, які сходяться в кожній вершині по п'ять; ця властивість великого ікосаедра спільна з ікосаедром.

Серед зірчастих форм також є: з'єднання п'яти октаедрів, з'єднання п'яти тетраедрів, з'єднання десяти тетраедрів. Перша зірчаста форма — малий триамбічний ікосаедр.

Якщо кожну з граней продовжити необмежено, то тіло буде оточене великим розмаїттям відсіків — частин простору, обмежених площинами граней. Усі зірчасті форми ікосаедра можна отримати додаванням до початкового тіла таких відсіків. Не рахуючи самого ікосаедра, продовження його граней відокремлюють від простору 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 відсіки десяти різних форм і розмірів. Великий ікосаедр складається з усіх цих шматків, за винятком останніх шістдесяти. Наступна зірчаста форма — завершальна.

Зірчасті форми кубооктаедра

Кубооктаедр має 4 зірчасті форми, що задовольняють обмеженням, введеним Міллером. Перша з них є з'єднанням куба і октаедра.

Зірчасті форми ікосододекаедра

Ікосододекаедр має багато зірчастих форм, перша з яких — з'єднання ікосаедра й додекаедра.

Икосододекаедр має 32 грані, з яких 12 є правильними п'ятикутниками, а решта 20 — правильними трикутниками.

Зведення до зірчастої форми

Під зведенням до зірчастої форми (ззірченням) мають на увазі процес побудови многогранника з іншого многогранника шляхом розширення його граней. Для цього через грані початкового многогранника проводять площини, розглядають різноманітні ребра, отримані внаслідок перетину цих площин, і вибирають відповідні.

Див. також

• Однорідний зірчастий многогранник

Література

• М. Веннинджер. [1] — М. : Мир, 1974. — 236 с. Архівовано з джерела 9 жовтня 2021 (рос.)
• Гончар В. В. [2] — М. : Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2. Архівовано з джерела 22 липня 2020 (рос.)
• Гончар В. В. [3] — Ростов-на-Дону : Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8. Архівовано з джерела 10 травня 2021 (рос.)
• Coxeter H. S. M., Longuet-Higgins M. S., Miller J. C. P. Uniform Polyhedra // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A, 246. — 1954. — P. 401—450. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
• Coxeter H. S. M. [4] — New York : Dover, 1973. — 321 p. — ISBN 0-486-61480-8. Архівовано з джерела 29 липня 2016
• Сопов С. П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // Украинский геометрический сборник. — 1970. — Т. 8 (2 квітня). — С. 139—156. Архівовано з джерела 7 листопада 2017. Процитовано 1 листопада 2020. (рос.)

Посилання

• Зірчасті форми додекаедра і переходи між ними в 3D (за допомогою миші і клавіші 1-4) [Архівовано 26 лютого 2021 у Wayback Machine.]
• Тривимірні моделі всіх однорідних многогранників та їх зірчастих форм [Архівовано 25 жовтня 2020 у Wayback Machine.]