Канонічне перетворення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Канонічні перетворення — заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічної системи на інші, при якій зберігається вигляд основних рівнянь гамільтонової механіки — рівнянь Гамільтона.

У гамільтоновій механіці стан механічної системи задається узагальненими координатами та імпульсами , які вважаються незалежними змінними, та функцією Гамільтона . Рівняння Гамільтона мають вигляд

При переході до нових змінних та форма запису рівнянь Гамільтона загалом не зберігається. Однак серед усіх таких переходів існує клас, який зберігає рівняння Гамільтона в незмінному вигляді при деякій новій функції Гамільтона . Такі перетворення називаються канонічними.

Твірна функція[ред.ред. код]

Рівняння Гамільтона можна отримати з принципу найменшої дії, записаному у вигляді

В нових змінних теж повинно виконуватися

Рівності нулю варіацій двох виразів можна добитися, якщо ці вирази відрізняються на повний диференціал довільної функції F. Звідси

,

або

.

Тому

,

що є системою рівнянь, з яких можна визначити нові змінні через старі.

Фунція F називається твірною функцією канонічного перетворення. Твірну функцію можна вибирати різним чином. У наведених вище виразах вона вибрана залежною від старих і нових координат та часу . Вибравши твірну функцію можна визначити нові координати, імпульси та нову фунцію Гамільтона, розв'язуючи наведену систему рівнянь.

Твірна функція залежна від старих координат і нових імпульсів[ред.ред. код]

Якщо твірна функція залежить від старих координат і нових імпульсів: система рівнянь для знаходження зв'язку між новими та старими змінними має вигляд:

Твірна функція залежна від нових координат і старих імпульсів[ред.ред. код]

Система рівнянь для знаходження зв'язку між новими й старими змінними при твірній функції записується у вигляді

Твірна функція залежна від старих і нових імпульсів[ред.ред. код]

При твірній функції , система рівнянь для знаходження зв'язку між старими й новими змінними набуває вигляду

Часткові канонічні перетворення[ред.ред. код]

Одним із канонічних перетворень є перетворення, в якому , а нові координати . В цьому випадку імпульси й координати наче міняються місцями, різниця між ними втрачається, тому при застосуванні гамільтонової механіки величини q і p часто називають просто канонічно спряженими змінними.

Сам рух можна розглядати, як канонічні перетворення. Якщо в певний момент часу t змінні мали значення та , то в момент часу їхні значення та однозначно визначаються початковими умовами і задовольняють тим же рівнянням Гамільтона. Їх можна вибрати новими канонічно спряженими змінними.

Застосування[ред.ред. код]

Канонічні перетворення застосовуються для спрощення задач класичної механіки або ж для побудови зручних способів знаходження наближених розв'язків.

Історія[ред.ред. код]

Впреше канонічні перетворення застосував у 1846 році Шарль-Ежен Делоне, розглядаючи задачу про обертання Місяця навколо Землі одночасно з обертанням цих небесних тіл навколо Сонця.

Джерела[ред.ред. код]

  • Федорченко А. М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа. , 516 с.
  • Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1958). Механика. Теоретическая физика, т. 1. Москва: Госиздат. , 206 с.



Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.