Категоричність аксіоматичних теорій та їх повнота

Словник скорочень

ФАТ- формальна аксіоматична теорія

ч/в - числення висловлень

Властивості формальних систем

Несуперечність

Теорія, в якій множина теорем покриває всі множини формул (всі формули є теоремами, «істинними висловлюваннями»), називається суперечливою. В іншому випадку теорія називається несуперечливою. З'ясування суперечливості теорії - одна з найважливіших і іноді найскладніших завдань формальної логіки. Після з'ясування суперечливості теорія, як правило, не має подальшого ні теоретичного, ні практичного застосування.

Повнота

Теорія називається повною, якщо в ній для будь-якої формули  виводиться або сама або її заперечення. В іншому випадку, теорія містить недоведені твердження (твердження, які не можна ні довести, ні спростувати засобами самої теорії), і називається неповною.

Формальна аксіоматична теорія числення висловлень є повною відносно своєї моделі алгебри висловлень.

Незалежність аксіом

Окрема аксіоматична теорія вважається незалежною, якщо цю аксіому не можна вивести з інших аксіом. Залежна аксіома по суті надмірна, і її видалення з системи аксіом ніяк не відіб'ється на теорії. Вся система аксіом теорії називається незалежна, якщо кожна аксіома в ній незалежна.

Розв'язність

Теорія називається вирішуваною, якщо в ній поняття теореми ефективно, тобто існує ефективний процес (алгоритм), що дозволяє для будь-якої формули за зліченне число кроків визначити, є вона теоремою чи ні.

Категоричність ФАТ

Перед тим як давати означення категоричності аксіоматичної теорії потрібно дати означення проблеми несуперечності аксіоматичної теорії.

Несуперечність аксіоматичної теорії є однією з основних вимог, що пропоновані до системи аксіом певної теорії. Вона означає, що з даної системи

аксіом не можна логічним шляхом вивести два суперечливих один одному твердження.

З'ясування суперечливості теорії - одна з найважливіших і іноді найскладніших завдань формальної логіки. Після з'ясування суперечливості теорія, як правило, не має подальшого ні теоретичного, ні практичного застосування.

Формальну аксіоматичну теорію числення висловлень називають '''категоричною''', якщо будь-які її дві моделі ізоморфні між собою, тобто між ними можна встановити взаємно однозначне відображення.

Повнота ФАТ

Проблема повноти формальної системи полягає в тому, що система аксіом припускає лише одну реалізацію виводу теореми. Також розрізнюють повноту у широкому та вузькому розумінні.

Формальна аксіоматична теорія числення висловлень називають повною у вузькому розумінні якщо приєднання до системи аксіоми цієї теорії хоча б однієї формули веде до того що вона не є теоремою.

Формальну аксіоматичну теорію називають повною у широкому розумінні або повною відносно своєї моделі якщо будь-яку формула істинна в моделі є теоремою цієї моделі або якщо будь-яку тотожно істинну формулу можна довести.   Тоді або А, або ­­­­­­¬А є істинним і має виводитись у формальній теорії, тобто довільна формула А теорії або її заперечення А є теоремами формальної теорії.

Теорема

Формальна аксіоматична теорія числення висловлень є повною відносно своєї моделі алгебри висловлень.

Теорема

Числення висловлень – це формальна аксіоматична теорія повна у вузькому розумінні.

Див. також

• Формальна система

 Використана література

• http://pidruchniki.com/15941024/ritorika/forma_argumentatsiyi [Архівовано 2 грудня 2014 у Wayback Machine.]
• http://westudents.com.ua/glavy/82946-31-ponyattya-pro-formu-argumentats.html [Архівовано 29 березня 2015 у Wayback Machine.]
• Маковельский А. Історія логіки. - М., 1967.
• Кліні С. Математична логіка. - М., 1973
• Арно., Ніколь П. Логіка, або Мистецтво мислити. - М., 1991.