Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
У математиці , квадратична функція — це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
,
a
≠
0
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}
Γ
f
{\displaystyle \Gamma _{f}}
парабола з віссю, паралельною осі
O
y
{\displaystyle Oy}
b
=
c
=
0
{\displaystyle b=c=0}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
[ 1]
f
(
x
)
=
x
2
−
x
−
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\,\!}
Нулі квадратичної функції
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,}
це значення x такі, що f (x ) = 0.
Коли коефіцієнти a , b і c , — дійсні чи комплексні , тоді корені
x
=
−
b
±
Δ
2
a
,
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}},}
де дискримінант визначений як
Δ
=
b
2
−
4
a
c
.
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,.}
f
(
x
)
=
a
x
2
,
{\displaystyle f(x)=ax^{2},\!}
a
=
{
0.1
,
0.3
,
1
,
3
}
{\displaystyle a=\{0.1,0.3,1,3\}\!}
Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
При
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
парною і не є непарною . При
b
=
0
{\displaystyle b=0}
Квадратична функція неперервна і диференційована на всій області визначення.
Функція має єдину критичну точку
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
Область зміни функції: при
a
>
0
{\displaystyle a>0}
[
−
b
2
−
4
a
c
4
a
;
+
∞
)
{\displaystyle [-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};+\infty )}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
(
−
∞
;
−
b
2
−
4
a
c
4
a
]
{\displaystyle (-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}]}
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
,
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx,\!}
b
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle b=\{1,2,3,4\}\!}
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
,
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx,\!}
b
=
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
}
{\displaystyle b=\{-1,-2,-3,-4\}\!}
У загальному випадку вершина параболи лежить в точці
M
0
(
x
0
;
y
0
)
;
x
0
=
−
b
2
a
;
y
0
=
f
(
x
0
)
=
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0});x_{0}=-{\frac {b}{2a}};y_{0}=f(x_{0})=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
Якщо
a
>
0
{\displaystyle a>0}
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
x
<
−
b
2
a
{\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}
x
>
−
b
2
a
{\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}
Якщо
a
<
0
{\displaystyle a<0}
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
x
<
−
b
2
a
{\displaystyle \displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}
x
>
−
b
2
a
{\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}
Точка графіка квадратичної функції з абсцисою
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
ординатою
y
=
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle y=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
Графік квадратичної функції перетинається з віссю
O
y
{\displaystyle \displaystyle Oy}
y
=
c
{\displaystyle \displaystyle y=c}
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle \displaystyle b^{2}-4ac>0}
O
x
{\displaystyle Ox}
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle \displaystyle b^{2}-4ac=0}
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle \displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle \displaystyle b^{2}-4ac<0}
O
x
{\displaystyle Ox}
З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
r
=
−
b
2
a
;
0
)
{\displaystyle r=-{\frac {b}{2a}};0)}
Графік функції
F
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \displaystyle F(x)=ax^{2}+bx+c}
f
(
x
)
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle \displaystyle f(x)=x^{2}}
паралельним перенесенням
r
=
(
−
b
2
a
;
0
)
{\displaystyle r=(-{\frac {b}{2a}};0)}
стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
паралельним перенесенням
r
=
(
0
;
−
b
2
−
4
a
c
4
a
)
{\displaystyle r=(0;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}})}
[ 1]
y
′
=
(
x
2
)
′
=
2
x
{\displaystyle y^{\prime }=\left(x^{2}\right)^{\prime }=2x}
∫
x
2
d
x
=
1
3
x
3
+
C
{\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}+C}
![{\displaystyle (-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a232643a7d2f73defcac4d1d6d8c0b662cda45d2)
