Квадратичне поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квадратичне полерозширення степеня 2 поля раціональних чисел . Будь-яке квадратичне поле має вигляд , де , тобто одержується приєднанням до поля елемента .

, де . Тому будь-яке квадратичне поле має вид , де dціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким.

При d > 0 поле називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля тобто базис кільця цілих чисел поля над кільцем цілих раціональних чисел , можна взяти

при ;
при .

Дискримінант D поля рівний відповідно d при і 4d при .

Група одиниць[ред.ред. код]

Уявні квадратичні поля — єдиний тип полів (окрім ) із скінченною групою одиниць (тобто групою оборотних елементів кільця цілих чисел поля). Ця група має:

  • порядок 4 для і твірну ,
  • порядок 6 для і твірну ,
  • порядок 2 і твірну (-1) для всіх інших уявних квадратичних полів.

Для дійсних квадратичних полів група одиниць ізоморфна прямому добутку де — група порядку 2, породжена числом -1, і — нескінченна циклічна група, породжена основною одиницею . Наприклад, для поля

Розклад простих ідеалів[ред.ред. код]

Закон розкладу простих ідеалів в квадратичному полі допускає просте формулювання: полю можна зіставити символ Кронекера — Якобі. Якщо рпросте число і (D, p) = 1, то ідеал простий в при , і розпадається в добуток двох простих ідеалів при . Якщо D ділиться на р, то (p) є квадратом деякого простого ідеала.

Група класів ідеалів квадратичного поля вивчена краще, ніж для інших класів полів. У разі уявних квадратичних полів теорема Бруера — 3ігеля показує, що число класів ідеалів прямує до нескінченності при . Є рівно 9 однокласних уявних квадратичних полів, а саме при d = - 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163 (див. дискримінанти Гауса). Для дійсних квадратичних полів невідомо чи є скінченною множина однокласних полів.

Існує нескінченно багато квадратичних полів (як уявних, так і дійсних), число класів яких ділиться на дане натуральне число.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]