Квадратна антипризма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Однорідна квадратна антипризма
Квадратна антипризма
ТипПризматичний однорідний многогранник
Граней8 трикутників
2 квадрати
Ребер16
Вершин8
χ
Конфігурація вершин3.3.3.4
Символ Витофа| 2 2 4
Символ Шлефліs{2,8}
sr{2,4}
Діаграма Коксетера
Група симетріїD4, [4,2]+, (442), порядок=8
Дуальний многогранниктетрагональний трапецоедр[en]
Опуклий, рівносторонній
Вершинна діаграма
Розгортка

Квадра́тна антипри́зма (антикуб[1]) — призматоїд, у якого дві паралельні грані (основи) — рівні між собою квадрати, а решта 8 граней (бічні грані) — правильні трикутники.

Також, квадра́тна антипри́зма — чотирикутна рівностороння антипризма. Квадратні грані основ повернені одна відносно іншої на кут 45°.

Цей многогранник є напівправильним многогранником або однорідним многогранником.

А також є другим многогранником у нескінченному ряду однорідних антипризм.

Якщо вісім точок розмістити на сфері з метою максимізації відстаней між ними в певному сенсі[уточнити], фігура, що вийшла, відповідає швидше квадратній антипризмі, ніж кубу. Специфічні методи розподілу точок включають, наприклад, задачу Томсона[en] (мінімізація суми величин, обернених до відстаней між точками), максимізацію відстаней від точки до найближчої або мінімізацію суми всіх обернених квадратів відстаней між точками.

Формули

[ред. | ред. код]

Квадратна антипризма має 12 діагоналей: 4 граневих та 8 просторових.

Якщо квадратна антипризма має ребро довжиною , то довжина граневої діагоналі дорівнює ;

довжина просторової діагоналі дорівнює .

Радіус описаної сфери:

Радіус напіввписаної сфери (дотична до ребер многогранника):

Об'єм правильної квадратної антипризми з довжиною ребра обчислюють за такою формулою:

,

а площа поверхні :

(Також площу поверхні можна обчислити з урахуванням того, що розгортка складається з двох квадратів і восьми рівносторонніх трикутників).

Висота (відстань між паралельними чотирикутними гранями):

Кути многогранника
Двогранний кут між гранями {3} та {3} 2.2261954369 rad

127° 33′ 5.7704608497′′

Двогранний кут між гранями {3} та {4} 1.8122828829922 rad

103° 50′ 10.177725323′′

Тілесний кут при вершині ср
Тілесний кут, під яким квадратну грань

видно з центру протилежної квадратної грані

ср
Сферичність

Молекули з квадратною антипризматичною геометрією

[ред. | ред. код]
Квадратна антипризматична молекулярна геометрія

Відповідно до теорії ВЕПВО молекулярної геометрії в хімії, яка ґрунтується на принципі максимізації відстаней між точками, квадратна антипризма є найкращою геометрією, якщо вісім пар електронів оточують центральний атом. Одна з молекул з такою геометрією — йон октафтороксенату (VI) (XeF82−) у солі октафтороксенату(VI) нітрозилу[en]. Однак ця молекула далека від ідеальної квадратної антипризми[2]. Дуже мало йонів мають кубічну форму, оскільки така форма призвела б до сильного відштовхування лігандів. PaF83− є одним із небагатьох прикладів[3].

Крім того, найстійкішою алотропною формою сірки є восьмиатомні молекули S8. Молекула S8 має структуру на основі квадратної антипризми. У цій молекулі атоми займають вісім вершин антипризми, а вісім ребер між трикутниками відповідають ковалентному зв'язку між атомами сірки.

Узагальнення

[ред. | ред. код]
Чотирикутна антипризма

Чотирикутна антипризма — призматоїд, у якого дві паралельні грані (основи) — рівні між собою 4-кутники, а решта 8 граней (бокові грані) — різносторонні трикутники.

Квадратна неоднорідна антипризма

Квадратна антипризма (неоднорідна) — чотирикутна антипризма, основами якої є рівні між собою квадрати, а бокові грані — рівнобедрені трикутники.

Квадратні грані основ повернені одна відносно іншої на кут 45°.

Якщо цей кут має інше значення, многогранник правильніше називати квадратною скрученою призмою (square gyroprism[4]). В цьому випадку бокові грані — рівні між собою різносторонні трикутники.

Топологічно еквівалентні многогранники

[ред. | ред. код]

Скручена призма (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки) може мати те саме розташування вершин. Цей многогранник можна розглядати як форму, зібрану з 4 тетраедрів з вирізаними частинами. Однак після вирізання тіло не можна розбити на тетраедри без додавання нових вершин. Тіло має половину симетрій однорідного тіла: Dn, [4,2]+[5][6].

Пов'язані многогранники

[ред. | ред. код]

Похідні многогранники

[ред. | ред. код]

Скручена подовжена чотирикутна піраміда — правильногранний многогранник (J10 = М24), отриманий подовженням квадратної піраміди. Так само, скручена подовжена чотирикутна біпіраміда (J17 = М242) є дельтаедром (многогранником, грані якого — правильні трикутники), побудованим заміною обох квадратів квадратної антипризми квадратними пірамідами.

Кирпатий двоклиноїд[en] (J84 = М25) — інший дельтаедром, який отримують заміною двох квадратів квадратної антипризми парами рівносторонніх трикутників. Кирпату квадратну антипризму[en] (J85 = М28) можна розглядати як квадратну антипризму, отриману вставленням ланцюжка рівносторонніх трикутників. Клинокорона[en] (J86 = М21) і велика клинокорона[en] (J88 = М23) — інші правильногранні многогранники, які, подібно до решти квадратних антипризм, складаються з двох квадратів і парного числа рівносторонніх трикутників.

Квадратну антипризму можна зрізати та альтернувати для утворення кирпатих антипризм[en]:

Кирпаті антипризми
Антипризма Зрізання
t
Альтернування[en]
ht

s{2,8}

ts {2,8}

ss {2,8}

Аналогічні многогранники

[ред. | ред. код]

Як антипризма, квадратна антипризма належить до родини многогранників, до яких входять октаедр (який можна розглядати як трикутну антипризму), п'ятикутна антипризма, шестикутна антипризма та восьмикутна антипризма.

Родина однорідних n-кутних антипризм
Многогранник ...
Сферична
мозаїка
Плоска
мозаїка
Конфігурація 2.3.3.3 3.3.3.3 4.3.3.3 5.3.3.3 6.3.3.3 7.3.3.3 8.3.3.3 9.3.3.3 10.3.3.3 11.3.3.3 12.3.3.3 ... ∞.3.3.3

Квадратна антипризма є першою в ряду кирпатих многогранників та мозаїк із вершинною фігурою 3.3.4.3.n.

В архітектурі

[ред. | ред. код]
Всесвітній торговий центр 1

Головна будівля в комплексі Всесвітнього торгового центру (на місці старого Всесвітнього торгового центру, зруйнованого 11 вересня 2001) має форму дуже високої квадратної антипризми, що звужується до верху. Будівля не є справжньою антипризмою, оскільки вона звужується до верху — верхній квадрат має вдвічі меншу площу, ніж основа.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Holleman-Wiberg, 2001, с. 299.
  2. Peterson, Holloway, Coyle, Williams, 1971, с. 1238–1239.
  3. Norman & Earnshaw, 1997, с. 1275.
  4. Square gyroprism. Polytope Wiki (англ.). 27 грудня 2022. Процитовано 27 червня 2023.
  5. Gorini, 2003, с. 172.
  6. Рисунки скрученных призм и антипризм. Архів оригіналу за 12 грудня 2016. Процитовано 31 січня 2017.

Література

[ред. | ред. код]
  • Inorganic Chemistry / A.F. Holleman, Nils Wiberg, Egon Wiberg. — Academic Press, 2001. — ISBN 0-12-352651-5.
  • W. Peterson, A. Holloway, H. Coyle, M. Williams. Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI) // Science. — 1971. — Т. 173, вип. 4003 (20 липня). — ISSN 0036-8075. — Bibcode:1971Sci...173.1238P. — DOI:10.1126/science.173.4003.1238. — PMID 17775218 .
  • Catherine A. Gorini. The Facts on File Geometry Handbook. — New York : Facts On File, Inc, 2003. — ISBN 0-8160-4875-4.
  • Norman N. Greenwood, Alan Earnshaw. Chemistry of the Elements (2nd ed.). — Butterworth-Heinemann, 1997. — ISBN 0-08-037941-9.

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Weisstein, Eric W. Antiprism(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Square Antiprism Интерактивная модель
  • Virtual Reality Polyhedra Архивная копия от 23 февраля 2008 на Wayback Machine www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra