Квадратне пірамідне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Геометричне подання квадратного пірамідного числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Квадра́тне пірамі́дне число́ (часто зване просто пірамі́дним число́м) — просторове фігурне число, що представляє піраміду, з квадратною основою. Квадратні пірамідні числа також виражають кількість квадратів зі сторонами, паралельними осям координат у ґраітці з N × N точок.

Початок послідовності:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, … (послідовність A000330 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Формула[ред. | ред. код]

Загальна формула для -го за порядком квадратного пірамідного числа:

Це окремий випадок формули Фаулгабера[en], яку неважко довести за індукцією. Вперше рівносильну формулу наведено в Книзі абака Фібоначчі (XIII століття).

У сучасній математиці формалізація фігурних чисел відбувається за допомогою многочленів Ергарта. Многочлен Ергарта L(P,t) многогранника P — многочлен, який підраховує кількість цілих точок у копії многогранника P, який збільшується множенням усіх його координат на число t. Многочлен Ергарта піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 1 із цілими координатами, а вершина міститьяс на висоті 1 над основою, обчислюється за формулою[1]:

.

Твірна функція[ред. | ред. код]

Твірна функція для квадратних пірамідних чисел має вигляд:

Зв'язок з іншими фігурними числами[ред. | ред. код]

Квадратні пірамідні числа можна також виразити у вигляді суми біноміальних коефіцієнтів:

Біноміальні коефіцієнти, що виникають у цьому виразі, це тетраедричні числа. Ця формула виражає квадратні пірамідні числа як суми двох чисел, так само, як і будь-яке квадратне число є сумою двох послідовних трикутних чисел. У цій сумі одне з двох тетраедричних чисел дорівнює кількості куль у складеній піраміді, розташованих вище або по один бік від діагоналі квадратної основи піраміди; а друге — розташованих по інший бік діагоналі. Квадратні пірамідні числа пов'язані з тетраедричними числами так[2]:

Сума двох послідовних квадратних пірамідних чисел є октаедричним числом.

Задача знаходження квадратних пірамідних чисел, які є одночасно квадратними числами, відома як задача про вкладання гарматних ядер. Сформулював її Люка (1875)[3].

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M.; Pfeifle, J.; Stanley, R. P. (2005). Coefficients and roots of Ehrhart polynomials. Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization. Contemp. Math. 374. Providence, RI: Amer. Math. Soc. с. 15—36. MR 2134759. 
  2. Деза Е., Деза М., 2016, с. 75.
  3. Édouard Lucas. Question 1180. — Nouv. Ann. Math. — 1875. — Вип. 14. — С. 336.

Література[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]