Квадратний корінь з двох

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квадратний корінь з 2 дорівнює довжині гіпотенузи в прямокутному трикутнику з довжиною катетів 1.

Квадратний корінь з числа 2 — дійсне число більше нуля, яке при множенні саме на себе дає число 2. Позначення: Приведемо значення кореня з 2 з 65 знаками після коми:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометричний корінь з 2 можливо представити як довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 (це слідує з теореми Піфагора). Можливо, це було перше відоме в історії математики ірраціональне число (тобто число, яке неможливо точно представити у вигляді дробу).

Квадратний корінь з 2.

Гарним і часто використовуваним наближенням до є дріб . Не дивлячись на те, що чисельник і знаменник дробу лише двозначні цілі, воно відрізняється від реального значення менше, ніж на 1/10000.

Ірраціональне число 2
Система числення Запис числа 2
Двійкова 1.0110101000001001111…
Десятична 1.4142135623730950488…
Шістнадцяткова 1.6A09E667F3BCC908B2F…
Ланцюговий дріб

Історія[ред.ред. код]

Вавилонська глиняна табличка з максимально точним зазначенням довжини діагоналі одиничного квадрата чотиризначним шістдесятиричним числом.

Вавилонська глиняна табличка (1900 до н. е. — 1650 до н. е.) дає найбільш точне наближене значення при записі в чотирьох шістдесяткових цифрах, що після округлення становить 6 точних десяткових цифр:

[1]

Інше раннє наближення цього числа в давньоіндійському математичному тексті, Шульба-сутри (бл. 800–200 до н. е.) дається наступним чином:

Піфагорійці виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, або на сучасній мові, що квадратний корінь з двох є ірраціональним. Мало що відомо з певністю про час і обставини цього видатного відкриття, але традиційно його авторство приписується Гіппасу Метапонтському, якого за це відкриття, за різними варіантами легенди, піфагорійці не то вбили, не то вигнали, поставивши йому в провину руйнування головної піфагорейської доктрини про те, що «все є натуральне число». Тому квадратний корінь з 2 іноді називають постійною Піфагора, так як саме піфагорійці довели його ірраціональність, тим самим відкривши існування ірраціональних чисел.

Алгоритми обчислення[ред.ред. код]

Існує безліч алгоритмів для обчислення значення квадратного кореня з двох. В результаті алгоритму виходить приблизне значення у вигляді звичайної або десяткового дробу. Найпопулярніший алгоритм для цього, який використовується в багатьох комп'ютерах і калькуляторах, це вавилонський метод обчислення квадратних коренів. Він полягає в наступному:

Чим більше повторень в алгоритмі (тобто, чим більше «n»), тим краще наближення квадратного кореня з двох. Кожне повторення приблизно подвоює кількість правильних цифр. Наведемо кілька перших наближень:

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416…
  • 577/408 = 1.414215…
  • 665857/470832 = 1.4142135623746…

У 1997 році Ясумаса Канада вирахував значення 2 до 137 438 953 444 десятеричних знаків після коми. У лютому 2007 року рекорд був побитий: Сигэру Кондо вирахував 200 мільярдів десятеричних знаків після коми протягом 13 днів і 14 годин, використовуючи процесор з частотою 3,6 ГГц і 16 ГБ ОЗУ. Серед математичних констант тільки було обчислено більш точно.

Властивості квадратного кореня з двох[ред.ред. код]

Половина 2 приблизно дорівнює 0.70710 67811 86548; ця величина дає в геометрії та тригонометрії координати одиничного вектора, який утворює кут 45° з координатними осями:

Одна з цікавих властивостей 2 полягає в наступному:

. Тому що

Це є результатом властивості срібного перетину.

Друга цікава властивість 2:

Квадратний корінь з двох може бути виражений у уявних одиницях використовуючи тільки квадратні корені і арифметичні операції:

і

Квадратний корінь з 2 є єдиним числом, відмінним від 1, чия нескінченна тетрація дорівнює його квадрату.

Квадратний корінь з двох може бути також використаний для наближення :

[2]

З точки зору вищої алгебри, є коренем многочлена і тому є цілим алгебраїчним числом. Множина чисел виду , де  — раціональне число, створює алгебраїчне поле. Воно позначається і є підполем поля дійсних чисел.

Доказ ірраціональності[ред.ред. код]

Застосуємо доказ від протилежного: нехай, раціональний, тобто представляється у вигляді дробу , де і  — цілі числа. Піднесемо рівність в квадрат:

.

Так як m2 містить парне число двійок, а 2n2 — непарне число, отже рівність m2=2n2 неможлива. Це означає, що вихідне припущення було невірним, і  — ірраціональне число.

Ланцюговий дріб[ред.ред. код]

Квадратний корінь з двох може бути представлений у вигляді ланцюгового дробу:

Відповідні дроби даного ланцюгового дробу дають наближені значення, швидко сходяться до точному квадратному кореню з двох. Спосіб їх обчислення простий: якщо позначити попередню відповідну дріб , то подальша має вигляд . Швидкість збіжності тут менше, ніж у методу Ньютона, але обчислення набагато простіше. Випишемо декілька перших наближень:

Квадрат останньої наведеної дробу дорівнює (округлено) 2,000000177.

Розмір паперу[ред.ред. код]

Квадратний корінь з двох є пропорцією формату паперу ISO 216. Співвідношення сторін таке, що при розрізанні аркуша навпіл, паралельно його короткій стороні, вийдуть два аркуша тієї ж пропорції. Це дозволяє нумерувати такі, найбільш уживані формати паперу одним числом згідно з геометричним зменшенням площі листа (відповідно числу розрізів) — А0, А1, А2, А3, А4,…

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. YBC 7289 clay tablet
  2. Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941). What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. London: Oxford University Press. с. 124.