Квазіопукла функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квазіопукла функція, що не є опуклою
Функція, що не є квазіопуклою: множина точок, значення функції в яких не перевищує червоної пунктирної лінії не є опуклою.

Квазіопукла функція — узагальнення поняття опуклої функції, що знайшло широке використання в нелінійній оптимізації, зокрема при застосуванні оптимізації до питань економіки.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай Xопукла підмножина . Функція називається квазіопуклою або унімодальною, якщо для довільних елементів і виконується нерівність:

Якщо також:

для і то функція називається строго квазіопуклою.

Функція називається квазіувігнутою (строго квазіувігнутою), якщо є квазіопуклою (строго квазіопуклою).

Еквівалентно, функція є квазіувігнутою, якщо

і строго квазіувігнутою якщо

Функція, яка одночасно є квазіопуклою та квазіувігнутою називається квазілінійною.

Приклади[ред.ред. код]

  • Довільна опукла функція є квазіопуклою, довільна увігнута функція є квазіувігнутою.
  • Функція є квазілінійною на множині додатних дійсних чисел.
  • Функція є квазувігнутою на множині (множина пар невід'ємних чисел) але не є ні опуклою, ні увігнутою.
  • Функція є квазіопуклою і не є ні опуклою, ні неперервною.

Властивості[ред.ред. код]

  • Функція , де опукла множина, квазіопукла тоді і тільки тоді, коли для всіх множина

Доведення. Нехай множина опукла для будь-якого β. Зафіксуємо дві довільні точки та розглянемо точку Точки при . Оскільки множина опукла, то, а, отже, тобто виконується нерівність у визначенні і функція є квазіопуклою.
Нехай функція f квазіопукла. Для деякого зафіксуємо довільні точки Тоді . Оскільки X — опукла множина, то для будь-якого точка . З означення квазіопуклості випливає, що , тобто . Отже, — опукла множина.
  • Неперервна функція , де X — опукла множина в , квазіопукла тоді і тільки тоді, коли виконується одна з таких умов:
  1. f — неспадна;
  2. f — незростаюча;
  3. існує така точка , що для всіх функція f незростаюча, і для всіх функція f неспадна.

Диференційовні квазіопуклі функції[ред.ред. код]

  • Нехай диференційована функція на X, де відкрита опукла множина. Тоді f квазіопукла на X тоді і тільки тоді, коли справджується співвідношення:
для всіх .
  • Нехай f — двічі диференційовна функція. Якщо f квазіопукла на X, то виконується умова:
для всіх .
  • Необхідні і достатні умови квазіопуклості і квазіувігнутості можна також дати через так звану обрамлену матрицю Гессе. Для функції визначимо для визначники:

Тоді справедливі твердження:

  • Якщо функція f квазіопукла на множині X, тоді Dn(x) ≤ 0 для всіх n і всіх x з X.
  • Якщо функція f квазіувігнута на множині X, тоді D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, ..., (-1)mDm(x) ≤ 0 для всіх x з X.
  • Якщо Dn(x) ≤ 0 для всіх n і всіх x з X, то функція f квазіопукла на множині X.
  • Якщо D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, ..., (-1)mDm(x) ≤ 0 для всіх x з X, функція f квазіувігнута на множині X.

Операції, що зберігають квазіопуклість[ред.ред. код]

  • Максимум зважених квазіопуклих функцій з невід'ємними вагами, тобто
де
  • композиція з неспадною функцією (якщо — квазіопукла, — неспадна, тоді є квазіопуклою).
  • мінімізація (якщо f(x,y) є квазіопуклою, C — опукла множина, тоді є квазіопуклою).

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Alpha C Chiang, "Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third Edition", McGraw Hill Book Company, 1984.