Кирпатий куб

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Кирпатий куб
«Правий» варіант
Граней 38,
32 трикутники,
6 квадратів
Ребер 60
Вершин 24
Конфігурація вершин 34.4
Група симетрії O (хіральна октаедрична)
Дуальний многогранник пентагональний ікосітетраедр
Розгортка
Тривимірна модель кирпатого куба

Кирпатий куб[1], або плосконосий куб[2][3], — напівправильний багатогранник (архімедове тіло) з 38 гранями, складений з 6 квадратів і 32 правильних трикутників. У кожній з його 24 однакових вершин сходяться одна квадратна грань і чотири трикутні. Трикутні грані діляться на дві групи: 8 з них оточені тільки іншими трикутними, решта 24 — квадратною і двома трикутними.

Має 60 ребер рівної довжини.

Назву «кирпатий куб» (лат. cubus simus) дав цьому багатограннику Йоганн Кеплер у трактаті 1619 року «Гармонія світу». Гарольд Коксетер, зазначивши, що багатогранник споріднений з октаедром тою ж мірою, що і з кубом, пропонував називати його «кирпатим кубооктаедром».

На відміну від більшості інших архімедових тіл, кирпатий куб (поряд з кирпатим додекаедром) є хіральним і існує в двох різних дзеркально-симетричних (енантіоморфних) варіантах — «правому» і «лівому».

Перетворення ромбокубооктаедра на «лівий» і «правий» кирпаті куби.

Метричні характеристики і кути

[ред. | ред. код]

При визначенні метричних властивостей кирпатого куба доводиться розв'язувати кубічні рівняння і користуватися кубічними коренями — тоді як для ахіральних архімедових тіл і для платонових тіл не потрібно нічого складнішого від квадратних рівнянь і квадратних коренів. Тому кирпатий куб, на відміну від платонових і ахіральних архімедових тіл, не допускає евклідової побудови[4]. Це стосується і кирпатого додекаедра, а також двоїстих їм каталанових тіл.

При описі метричних властивостей і кутів кирпатого куба важливу роль відіграє константа трибоначчі:

.

Якщо кирпатий куб має ребро довжини його площа поверхні та об'єм виражаються як

Радіус описаної сфери (що проходить через усі вершини багатогранника) при цьому дорівнює

радіус напіввписаної сфери (дотичної до всіх ребер в їх серединах) —

Вписати в кирпатий куб сферу — так, щоб вона дотикалася до всіх граней, — неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині кирпатого куба з ребром (вона буде дотикатися тільки до всіх квадратних граней в їх центрах), дорівнює

Відстань від центра багатогранника до центра будь-якої трикутної грані перевищує і дорівнює

Двогранні кути між двома суміжними трикутними гранями кирпатого куба рівні між суміжними квадратною і трикутною гранями

Тілесний кут при вершині дорівнює

В координатах

[ред. | ред. код]

«Лівий» кирпатий куб можна розмістити у декартовій системі координат так, щоб координати 12 його вершин були всіма парними перестановками тих трійок чисел серед яких парне число від'ємних, а координати решти 12 вершин — всіма непарними перестановками тих трійок, серед яких непарна кількість від'ємних.

Якщо вчинити навпаки — взяти парні перестановки трійок з непарним числом мінусів і непарні перестановки трійок з парним числом мінусів — отримаємо «правий» варіант кирпатого куба.

Початок координат в обох випадках буде центром описаної і напіввписаної сфер багатогранника.

Пов'язані многогранники та мозаїки

[ред. | ред. код]
n32 симетрії кирпатих мозаїк: 3.3.3.3.n
Симетрія
n32
Сферична Евклідова Компактна
гіперболічна
Паракомп.
232 332 432 532 632 732 832 ∞32
Кирпаті
фігури
Конфігурація 3.3.3.3.2 3.3.3.3.3 3.3.3.3.4 3.3.3.3.5 3.3.3.3.6 3.3.3.3.7 3.3.3.3.8 3.3.3.3.∞
Фігури
Конфігурація V3.3.3.3.2 V3.3.3.3.3 V3.3.3.3.4 V3.3.3.3.5 V3.3.3.3.6 V3.3.3.3.7 V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Веннинджер, 1974, с. 20, 41.
  2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
  3. Люстерник, 1956, с. 183.
  4. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.

Посилання

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]