Класифікація простих скінченних груп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Група (математика)
Rubik's cube.svg
Теорія груп

В математиці, класифікацією простих скінченних груп називають теорему, згідно якої будь-яка скінченна проста група належить до одного з описаних нижче класів. Ці класи можна розглядати як елементарні будівельні блоки, з яких побудовані всі скінченні групи, таким же чином, як прості числа є «цеглинами», з яких побудовані всі натуральні числа. Теорема Жордана-Гьольдера є більш математично чітким виразом цього принципу.

Доведення теореми про класифікацію займає десятки тисяч сторінок, і складається з кількох сотень окремих статей, опублікованих, переважно, між 1955 і 2004 роками. Горенстейн, Ліонс і Соломон опублікували між 1994 і 2005 роками переглянуті і спрощені версії доказів.

Положення теореми про класифікацію[ред. | ред. код]

Кожна скінченна проста група є ізоморфною одній з наступних груп:[1]

Теорема про класифікацію має застосування в багатьох галузях математики, через те, що багато питань, що стосуються скінченних груп, можуть бути зведені до простих скінченних груп. Завдяки теоремі про класифікацію, на ці питання можна знайти відповідь, перебравши усі типи простих скінченних груп.

Історія[ред. | ред. код]

Перші прості скінченні групи були знайдені ще Галуа, творцем теорії груп — він відкрив знакозмінні групи а також проективну групу рангу 2, а в 60-х роках XIX століття Матьє відкрив перші п'ять спорадичних груп,[2] проте до початку XX століття, математики вважали класифікацію всіх скінченних груп нездійсненною мрією. Втім, у першій половині XX століття, з розвитком інструментів дослідження груп, ситуація змінилася. Важливим етапом у цьому стала теорема Брауера-Фаулера про те, що існує лише скінченна кількість простих груп з заданим централізатором інволюції. Ще більш важливою була теорема Томпсона–Фейта, що була доведена в 1962 році, і стверджувала, що будь-яка некомутативна проста група містить парну кількість елементів — фактично, вона частково вирішила проблему класифікації, а саме, показала, що всі прості групи з непарною кількістю елементів є групою лишків за простим модулем.[2]

В 1972 році Деніел Горенстейн[en]запропонував програму з 16 пунктів, виконання якої дозволило б побудувати повну класифікацію груп. Завдяки скоординованим зусиллям великої кількості математиків, що взялися за доведення цих окремих пунктів, вже до кінця 1970-х практично вся ця програма була виконана. У 1980 році Горенстейн оголосив про остаточне доведення теореми про класифікацію. На той час, сукупний об'єм усих доведень займав щонайменше 15000 сторінок.[3]Проте, ще деякий час після цього з'являлися доповнення і уточнення до цієї теореми, так, Р. Грісс-молодший відкрив останню спорадичну групу, що носить назву група-монстр[en] і має порядок приблизно 8×1053, лише в 1982 році, а ще через деякий час з'ясувалося, що класифікація не включає в себе квазітонкі групи[en]. Цю прогалину заповнив Ашенбах у 2004 році своїм 1200-сторінковим доведенням.[4]

У 1982 році Горенстейн започаткував нову велику програму по ревізії теореми про класифікацію, для знаходження більш короткого і простого доведення. Ця робота тривала і в XXI столітті. Спрощена форма доведення ще не написана до кінця, але, ймовірно, буде займати менше 10000 сторінок.[3]

Детальний список класів простих груп[ред. | ред. код]

Нескінченні класи[ред. | ред. код]

  • Групи лишків за простим модулем Zp[2]
  • Знакозмінні групи Altn, парні перестановки n літер
  • Лінійні групи Шевалле An(q), n>1 або q<3
  • Симплектичні групи Шевалле Cn(q), n>2
  • Ортогональні групи Шевалле
    • Bn(q), n>2 або q>2
    • Dn(q), n>3
  • Виняткові групи Шевалле
    • G2(q), q>1
    • F4(q)
    • E6(q)
    • E7(q)
    • E8(q)
  • Групи Стейнберга
  • Групи Судзукі 2B2(q), q=2m, m непарне, m>1
  • Групи Рі 2G2(q), q=3m, m непарне, m>1
  • 2F4(q), q=2m, m непарне, [для q=2, 2F4(2)']

Спорадичні групи[ред. | ред. код]

Група Число елементів
Групи Матьє
M11 24×32×5×11 = 7 920
M12 26×33×5×11 = 95 040
M22 27×32×5×7×11 = 443 520
M23 27×32×5×7×11×23 = 10 200 960
M24 210×33×5×7×11×23 = 244 823 040
Групи Янко
J1 23×3×5×7×11×19 = 175 560
J2 27×33×52×7 = 604 800
J3 27×35×5×17×19 = 50 232 960
J4 221×33×5×7×113×23×29×31×37×43 ≈ 8,68×1019
Група Хигмена–Сімса HS 29×32×53×7×11 = 44 352 000
Група Маклафліна Mc 27×36×53×7×11 = 898 128 000
Спорадична група Судзукі Suz 213×37×52×7×11×13 ≈ 4,48×1011
Група Рудваліса Ru 214×33×53×7×13×29 ≈ 1,46×1011
Група Хелда He 210×33×52×73×17 ≈ 4 030 387 200
Група Лайенса Ly 28×37×56×7×11×31×37×67 ≈ 5,18×1016
Група О'Нена ON 29×34×5×73×11×19×31 ≈ 4,61×1011
Групи Конвея
C1 221×39×54×72×11×13×23 ≈ 4,16×1018
C2 218×36×53×7×11×23 ≈ 4,23×1013
C3 210×37×53×7×11×23 ≈ 4,96×1011
Групи Фішера
F22 217×39×52×7×11×13 ≈ 6,46×1013
F23 218×313×52×7×11×13×17×23 ≈ 4,09×1018
F24 221×316×52×73×11×13×17×23×29 ≈ 1,26×1024
Група Харади F5 214×36×56×7×11×19 ≈ 2,73×1014
Група Томпсона F3 215×310×53×72×13×19×31 ≈ 9,07×1016
Група Фішера F2 («монстреня») 241×313×56×72×11×13×17×19×23×31×47 ≈ 4,15×1033
Група Фішера–Грісса F1 («монстр», «дружній велетень») 246×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59×71 ≈ 8,08×1053

Доведення другого покоління[ред. | ред. код]

Доведення, що було практично завершене біля 1985 року, можна назвати доведенням першого покоління. Через надзвичайну його довжину, багато зусиль було покладене на те, щоб знайти нове, більш просте доведення, що отримало назву доведення другого покоління. Рух, що мав на меті знайти це доведення, отримав назву «ревізіонізм», і також був започаткований Горенстейном. Шість томів нового доведення були випущені у 1994, 1996, 1998, 1999, 2002 і 2005 роках. У 2012 році Соломон оцінив ще невипущену частину доведення у 5 томів. Таким чином, загальний об'єм доведення другого покоління буде займати приблизно 5000 сторінок, не рахуючи двох томів Ашенбаха і Сміта присвячених квазітонким групам.

Горенстейн і його група вказує наступні причини, чому простіше доведення можливе:[5]

  • Найбільш важливим є те, що відоме кінцеве твердження, що доводиться. Доки теорема про класифікацію не була доведена, не було відомо, скільки саме спорадичних груп існує, а отже, саме її формулювання не було відоме, що значно ускладнювало роботу. Як результат — різні частини теореми доводилися за допомогою різних технік, хоча могли бути генералізовані.
  • Деякі зі спеціальних випадків, що у доведенні першого покоління описувалися окремими теоремами, можуть бути об'єднані, і доведені більш загальним способом. Недоліком цього є те, що загальне доведення може бути складнішим для сприйняття, ніж кожне окреме.
  • Багато теорем з доведення першого покоління перекриваються, через те, що кордони між різними класами груп були проведені не найдоцільнішим чином. Перевизначення цих класів дозволить обійтися розглядом меншої кількості випадків.
  • Математики, що займаються теорією груп стали більш досвідченими і мають більшу кількість інструментів для такої роботи.

Завершеність доведення[ред. | ред. код]

Хоча наразі доведення теореми про класифікацію вважається завершеним і коректним[3], деякі математики, в тому числі і ті, хто приклав великих зусиль для її доведення, як, наприклад, Ашбахер[6], вважають, що не можна бути абсолютно впевненим, що не існує ніякої спорадичної групи, яка була пропущена в цьому доведенні. Загалом, наразі не всі роботи, що складають доведення теореми, є фактично опублікованими.

Примітки[ред. | ред. код]

Додаткові джерела[ред. | ред. код]

Атлас скінченних груп