Клас складності P

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Клас складності P (англ. Complexity class P) — клас задач, що можна розв'язати алгоритмами з поліноміальним часом.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Алгоритмом з поліноміальним часом називається такий алгоритм, час роботи якого (тобто, кількість елементарних двійкових операцій, необхідних для його виконання на детермінованій машині Тюринга) на вхідному рядку довжиною l обмежено згори деяким поліномом P(l).[1]

Задачі, що можна розв'язати алгоритмом з поліноміальним часом належать до класу задач складності P.

Машини Тюринга[ред.ред. код]

Докладніше: Машина Тюринга

Машина Тюринга M має часову складність (або час роботи) T(n), якщо для довільного входу w довжини n, не залежно від результату машина M зупиниться після виконання щонайбільше T(n) кроків.

Деяка мова L належить до класу складності P, якщо існує поліноміальне T(n) таке, що мова L розпізнається деякою детермінованою машиною Тюринга M (L = L(M)) з часовою складністю T(n).[2]

Практичне значення[ред.ред. код]

Оскільки часто доводиться обчислювати значення функцій на вхідних даних великого обсягу, знаходження поліноміальних алгоритмів для обчислення функцій є дуже важливим завданням. Вважається, що обчислювати функції, які не лежать у класі P, помітно складніше, ніж лежать. Більшість алгоритмів, що лежать в класі P, мають складність, яка не перевершує многочлен в невеликій мірі від розміру вхідних даних.

Вужче визначення[ред.ред. код]

Іноді під класом P мають на увазі вужчий клас функцій, а саме клас предикатів (функцій f: \Sigma^* \to \{ 0,\, 1\}). Тоді мова L, що розпізнає даний предикат, називається множиною слів, де предикат дорівнює 1. Мовами класу P називаються мови, для яких існують розпізнавальні їх предикати класу P. Очевидно, якщо мови L_1і L_2 лежать у класі P, то і їх об'єднання, перетин та доповнення також лежать в класі P[Джерело?].

Включення класу P в інші класи[ред.ред. код]

Клас P є одним з найвужчих класів складності. Алгоритми, що належать йому, належать також класу NP, класу BPP[ru] (як допускають поліноміальну реалізацію з нульовою помилкою), класу PSPACE (т. к. зона роботи на машині Тюрінга завжди менше часу), класу P/Poly (для доказу цього факту використовується поняття протоколу роботи машини, який переробляється в булеву схему поліноміального розміру)[Джерело?].

Вже більше 30 років залишається невирішеною задача про рівність класів P і NP. Якщо вони рівні, то будь-яке завдання з класу NP можна буде вирішити швидко (за поліноміальний час). Однак наукове товариство схиляється в бік негативної відповіді на це питання. Крім того, не доведено і строгість включення до ширших класів, наприклад, в PSPACE, але рівність P і PSPACE виглядає нині дуже сумнівно.

Приклади[ред.ред. код]

  • Стандартний алгоритм множення матриць вимагає n3 операцій множення (хоча існують більш швидкі алгоритми, які теж мають поліноміальну швидкість, як, наприклад, алгоритм Штрассена).
  • Ступінь многочлена рідко буває великою. Один з таких випадків — запропонований в 2002 індійськими математиками тест Агравала — Каяла — Сакса, який з'ясовує, чи є число n простим, за O(log6n) операцій.

Завдання, приналежність яких класу P невідома[ред.ред. код]

Існує багато задач, для яких не знайдено поліноміального алгоритму, але не доведено, що його не існує. Відповідно, невідомо, належать такі завдання класу P. Ось деякі з них:

Примітки[ред.ред. код]

  1. Рейнгольд, Нивергельт Ю., Део Н. (1980). Комбинаторные Алгоритмы (рос.). Москва: Мир. с. 442—443. 
  2. John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman (2001). Introduction to Automata Theory, Languages and Computation (англ.) (вид. 2-ге). Addison-Wesley. ISBN 0-201-44124-1. 

Дивіться також[ред.ред. код]