Клас суміжності групи

В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи.

Означення

Нехай $G$ — деяка група, $H$ — її підгрупа. Множину

$gH=\{gh:h\in H\}\subseteq G$ називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі $\ H$ для елемента $g\in G$,

$Hg=\{hg:h\in H\}\subseteq G$ називають правостороннім класом суміжності по підгрупі $\ H$ для елемента $g\in G$.

Приклад

Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатне ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.

Властивості

• $\ gH=H$ тоді і лише тоді коли $g\in H$

Справді оскільки $1\in H$ то також $g\in H.$ З іншої сторони рівняння $gx=a$ де $g,a\in H$ завжди має розв'язок $x\in H.$

• Якщо :$f\in gH$ то тоді $\ fH=gH$

Справді нехай $f=gh,h\in H.$ Тоді:

$\ fH=ghH=gH,$ де остання рівність випливає з попередньої властивості.

• Якщо: $f\notin gH,$ тоді $fH\bigcap fG=\emptyset$

Припустимо $fh_{1}=gh_{2};h_{1},h_{2}\in H.$ Тоді:

$f_{=}gh_{2}h_{1}^{-1}$ і оскільки $h_{1}h_{2}^{-1}\in H,$ то також $f\in gH,$;

З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності:

$f\sim g$ якщо $fH=gH.$

• $f\sim g\iff f^{-1}g\in H$

Справді маємо $f=gh,h\in H,$ звідки:

$1=f^{-1}gh$ і $f^{-1}g=h^{-1}\in H.$

• Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності.
• Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH.

Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:

• $l_{g}\colon H\to gH,\;h\mapsto gh$

  $p_{g}\colon H\to Hg,\;h\mapsto hg$

• Кількості правих і лівих класів суміжності (індекс підгрупи, позначається $|G:H|$) рівні між собою і виконується рівність:

$|G:H|=|G|/|H|$. (теорема Лагранжа).

Примітки

• Joshi, K. D. (1989). §5.2 Cosets of Subgroups. Foundations of Discrete Mathematics. New Age International. с. 322 ff. ISBN 81-224-0120-1.

Див. також

• Група (алгебра)
• Нормальна підгрупа
• Теорема Лагранжа (теорія груп)

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)