Коваріаційна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Двовимірна ґаусова функція густини ймовірності з центром в (0, 0) та коваріаційною матрицею [ 1.00, 0.50 ; 0.50, 1.00 ].
Точки вибірки з багатовимірного нормального розподілу зі стандартним відхиленням 3 у приблизно ліво-верхньому прямому напрямку та 1 у перпендикулярному напрямку. Оскільки складові x та y мають коваріацію, дисперсії x та y описують цей розподіл не повністю. Необхідна коваріаційна матриця 2×2; напрямки стрілок відповідають власним векторам цієї матриці коваріації, а їхні довжини — квадратним кореням власних значень.

Коваріаційна матриця (або коваріаційна таблиця) в теорії ймовірностей — це квадратна матриця, яка складена з попарних коваріацій і дисперсій двох або більше випадкових величин.

Визначення[ред.ред. код]

  • нехай ,  — два випадкових вектора розмірності і відповідно. Нехай також випадкові величини мають скінченний другий момент, тобто . Тоді матрицею коваріації називається

тобто

,

де

.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Цей термін має також інші значення. Наприклад, матрицею коваріації називається матриця, складена з попарних коваріацій різних елементів одного випадкового вектора.

Властивості[ред.ред. код]

  • Скорочена формула для обчислення матриці коваріації:
.
.
  • Зміна масштабу:
.
  • Якщо випадкові вектори і некорельовані (), то
.
,

де  — довільна матриця розмірності , а .

  • Перестановка аргументів:
  • Матриця коваріації адитивна за кожним аргументом:
,
.
  • Якщо і незалежні, то
.

Особливість[ред.ред. код]

Теорема[ред.ред. код]

  • Якщо величини утворюють коло K, коло L або коло M, тоді алгебраїчна сума значень будь-якого стовпчика або рядка коваріаційної матриці системи таких величин дорівнює нулю[1].

Джерела інформації[ред.ред. код]