Коваріаційна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Коваріаційна матриця (або коваріаційна таблиця) в теорії ймовірностей — це квадратна матриця, яка складена з попарних коваріацій і дисперсій двох або більше випадкових величин.

Визначення[ред.ред. код]

  • нехай \mathbf{X}:\Omega \to \mathbb{R}^n, \mathbf{Y}:\Omega \to \mathbb{R}^m — два випадкових вектора розмірності n і m відповідно. Нехай також випадкові величини X_i,Y_j,\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m мають скінченний другий момент, тобто X_i,Y_j \in L^2. Тоді матрицею коваріації \mathbf{X},\mathbf{Y} називається
\Sigma = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathbb{E}\left[(\mathbf{X} - \mathbb{E}\mathbf{X})(\mathbf{Y} - \mathbb{E}\mathbf{Y})^{\top}\right],

тобто

\Sigma = (\sigma_{ij}),

де

\sigma_{ij} = \mathrm{cov}(X_i,Y_j) \equiv \mathbb{E}\left[(X_i - \mathbb{E}X_i) (Y_j - \mathbb{E}Y_j)\right],\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Цей термін має також інші значення. Наприклад, матрицею коваріації називається матриця, складена з попарних коваріацій різних елементів одного випадкового вектора.

Властивості[ред.ред. код]

  • Скорочена формула для обчислення матриці коваріації:
\mathrm{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}\left[\mathbf{X} \mathbf{X}^{\top}\right] - \mathbb{E}[\mathbf{X}] \cdot \mathbb{E}\left[\mathbf{X}^{\top}\right].
\mathrm{cov}(\mathbf{X}) \ge 0.
  • Зміна масштабу:
\mathrm{cov}\left(\mathbf{a}^{\top} \mathbf{X}\right) = \mathbf{a}^{\top} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{a},\; \forall \mathbf{a} \in \R^n.
\mathrm{cov}(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) =  \mathrm{cov}(\mathbf{X}) + \mathrm{cov}(\mathbf{Y}).
\mathrm{cov}\left(\mathbf{A} \mathbf{X} + \mathbf{b}\right) = \mathbf{A} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{A}^{\top},

де \mathbf{A} — довільна матриця розмірності n \times n, а \mathbf{b}\in \mathbb{R}^n.

  • Перестановка аргументів:
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})^{\top}
  • Матриця коваріації адитивна за кожним аргументом:
\mathrm{cov}(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2,\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{X}_1,\mathbf{Y}) + \mathrm{cov}(\mathbf{X}_2,\mathbf{Y}),
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1 + \mathbf{Y}_2) = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1) + \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_2).
\mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) =  \mathbf{0}.

Особливість[ред.ред. код]

Теорема[ред.ред. код]

  • Якщо величини X_1,X_2,\dots,X_N утворюють коло K, коло L або коло M, тоді алгебраїчна сума значень будь-якого стовпчика або рядка коваріаційної матриці системи таких величин дорівнює нулю [1].

Джерела інформації[ред.ред. код]