Кодобуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кодобуток (категорна сума) сімейства об'єктів — узагальнення у теорії категорій для понять диз'юнктного об'єднання множин і топологічних просторів та прямої суми модулів або векторних просторів. Кодобуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, у який існує морфізм з кожного об'єкта сімейства. Кодобуток об'єктів двоїсто їхньому добутків, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку звертанням усіх стрілок. Тим не менш, реально добуток і кодобуток об'єктів разюче відрізняються.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай \mathcal C — категорія, \{X_j | j \in J\} — індексоване сімейство її об'єктів. Кодобуток цього сімейства — це такий об'єкт X, разом з морфізмами i_j\colon\, X_i \to X, які називаються канонічними вкладеннями або канонічними ін'єкціями (хоча вони не зобов'язані бути ін'єкціями), що для будь-якого Y \in Ob\,\mathcal C та сімейства морфізмів f_j\colon\, X_j \to Y існує єдиний морфізм f\colon\, X \to Y, такий що f_j = f \circ i_j, тобто наступна діаграма комутативна для всіх j:

Coproduct-01.png

Кодобуток сімейства \{ X_j \} зазвичай позначають

 X = \coprod_{j\in J}X_j

або

X = \bigoplus_{j \in J} X_j.

Іноді морфізм f позначають

f=\coprod_{j \in J} f_j: \coprod_{j \in J} X_j \to Y

щоб підкреслити його залежність від f_j.

Кодобуток двох об'єктів зазвичай позначають X_1 \coprod X_2 або X_1 \oplus X_2, тоді діаграма набуває вигляду

Coproduct-03.png

Відповідно, f позначають при цьому f_1 \coprod f_2, f_1 \oplus f_2 або [ f_1, f_2 ].

Єдиність результату операції [-,-] можна альтернативно виразити як рівність [ h \circ i_1,h \circ i_2 ] = h, справедливу для будь-яких h. [1]

Існує еквівалентне визначення кодобутку. Кодобуток сімейства \{X_j|j\in J\} — це такий об'єкт X, що для будь-якого об'єкта Y\in C функція Hom(X,Y) \rightarrow \prod_{j\in J} Hom(X_j,Y), задана як u \mapsto \{ u \circ i_j\}, бієктивна. [2]

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

Дистрибутивність[ред.ред. код]

У загальному випадку існує канонічний морфізм X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z), де плюс позначає кодобуток об'єктів. Це випливає із існування канонічних проекцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:

Product-Coproduct Distributivity.png

Властивість універсальності для X\times(Y+Z) гарантує при цьому існування шуканого морфізму. Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.

Матриця перетворень[ред.ред. код]

Будь-який морфізм

f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j

породжує множину морфізмів

f_{ij} \colon a_i \to b_j,

які задаються за правилом f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i і називаються матрицею перетворення. В інший бік, будь-яка матриця перетворення f_{ij} \colon a_i \to b_j задає єдиний відповідний морфізм \scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j. Якщо у категорії існує нульовий об'єкт 0, для котрого для будь-якого об'єкта x існує єдиний морфізм d_x\colon x \to 0 і єдиний морфізм c_x\colon 0\to x, то матриця перетворення f_{ij} \colon a_i \to a_j, яка визначається за правилом

f_{ij} = \left\{
\begin{matrix}
c_{j} \circ d_{i},~ i\ne j \\ id_i,~ i=j
\end{matrix} \right.

називається одиничною матрицею.

Приклад

В категорії скінченновимірних векторних просторів \mathcal{V}ect_f кодобуток просторів співпадає з їхнім добутком і є їхньою прямою сумою. У цьому випадку категорне та звичайне поняття матриці перетворень співпадають, так як будь-який скінченновимірний простір можна розкласти у пряму суму одновимірних. При цьому матриця перетворення усього простору задається шляхом наведення образів відповідних базисних векторів та продовження перетворення на весь простір за лінійністю єдиним чином.

Література[ред.ред. код]

  • С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Физматлит, 2004 [1998].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
  2. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: «Мир», 1972.