Кодобуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кодобуток (категорна сума) сімейства об'єктів — узагальнення у теорії категорій для понять диз'юнктного об'єднання множин і топологічних просторів та прямої суми модулів або векторних просторів. Кодобуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, у який існує морфізм з кожного об'єкта сімейства. Кодобуток об'єктів двоїстий їхньому добутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку згортанням усіх стрілок. Проте, насправді добуток і кодобуток об'єктів разюче відрізняються.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай — категорія, — індексоване сімейство її об'єктів. Кодобуток цього сімейства — це такий об'єкт , разом з морфізмами , які називаються канонічними вкладеннями або канонічними ін'єкціями (хоча вони не зобов'язані бути ін'єкціями), що для будь-якого та сімейства морфізмів існує єдиний морфізм , такий що , тобто наступна діаграма комутативна для всіх :

Coproduct-01.png

Кодобуток сімейства зазвичай позначають

або

Іноді морфізм позначають

щоб підкреслити його залежність від .

Кодобуток двох об'єктів зазвичай позначають або , тоді діаграма набуває вигляду

Coproduct-03.svg

Відповідно, позначають при цьому , або .

Єдиність результату операції можна альтернативно виразити як рівність , справедливу для будь-яких . [1]

Існує еквівалентне визначення кодобутку. Кодобуток сімейства — це такий об'єкт , що для будь-якого об'єкта функція , задана як , бієктивна. [2]

Приклади[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо сума об'єктів існує, то вона єдина з точністю до ізоморфізму.
  • Комутативність:
  • Асоціативність:
  • Якщо у категорії існує початковий об'єкт , то
  • Категорія, в якій визначено добуток будь-яких двох об'єктів і є ініціальний об'єкт, є симетричним моноїдом.

Дистрибутивність[ред.ред. код]

У загальному випадку існує канонічний морфізм , де плюс позначає кодобуток об'єктів. Це випливає із існування канонічних проекцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:

Product-Coproduct Distributivity.png

Властивість універсальності для гарантує при цьому існування шуканого морфізму. Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.

Матриця перетворень[ред.ред. код]

Будь-який морфізм

породжує множину морфізмів

,

які задаються за правилом і називаються матрицею перетворення. В інший бік, будь-яка матриця перетворення задає єдиний відповідний морфізм Якщо у категорії існує нульовий об'єкт для котрого для будь-якого об'єкта існує єдиний морфізм і єдиний морфізм , то матриця перетворення , яка визначається за правилом

називається одиничною матрицею.

Приклад

В категорії скінченновимірних векторних просторів кодобуток просторів співпадає з їхнім добутком і є їхньою прямою сумою. У цьому випадку категорне та звичайне поняття матриці перетворень співпадають, так як будь-який скінченновимірний простір можна розкласти у пряму суму одновимірних. При цьому матриця перетворення усього простору задається шляхом наведення образів відповідних базисних векторів та продовження перетворення на весь простір за лінійністю єдиним чином.

Література[ред.ред. код]

  • С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Физматлит, 2004 [1998].

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
  2. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М. : «Мир», 1972.