Коефіцієнт Пуассона

Коефіцієнт Пуассона
Коефіцієнт Пуассона
Символи	і
Названо на честь	Сімеон-Дені Пуассон
Одиниці вимірювання
Розмірність	Безрозмірнісна
Визначення
Формула
Позначення	коефіцієнт Пуассона (); change in width (); зміна довжини ();
	Коефіцієнт Пуассона у Вікісховищі

Коефіціє́нт Пуассо́на або число Пуассона^[3] (символ: $\nu$ ; англ. Poisson ratio) у матеріалознавстві та механіці деформівного твердого тіла є мірою, прояву деформації (розширення або стиснення) матеріалу в напрямках, перпендикулярних до конкретного напрямку його навантажування (ефект Пуассона). Саме значення коефіцієнта Пуассона є числом, отриманим з відношення відносної поперечної деформації до відносної осьової деформації взяте з протилежним знаком. Цей коефіцієнт залежить не від розмірів тіла, а від природи матеріалу, з якого виготовлений зразок. Коефіцієнт отримав назву на честь французького математика та фізика Сімеона Пуассона. Інколи при записі деформаційних співвідношень використовують величину, обернену до величини цього коефіцієнта $m={\frac {1}{\nu }}$ . Цю величину називають зворотним значенням коефіцієнта Пуассона^[3].

Більшість матеріалів мають значення коефіцієнта Пуассона в діапазоні від 0,0 до 0,5. У м'яких матеріалів модуль всебічного стиску (K) зазвичай великий порівняно з модулем зсуву (G), тому їх можна вважати нестисливими, оскільки вони значно легше змінюють форму, ніж стискаються об'ємно. Це призводить до того, що модуль Юнга (E) становить E = 3G, а отже, $\nu =0,5$ ^[4], таких як гума, де модуль об'ємної пружності набагато вищий за модуль зсуву, коефіцієнт Пуассона близький до 0,5. Для полімерних пін з відкритими порами коефіцієнт Пуассона близький до нуля, так як пори мають тенденцію до руйнування при стисканні. Багато типових твердих тіл мають коефіцієнти Пуассона в діапазоні від 0,2 до 0,3.

Базове обґрунтування

Коефіцієнт Пуассона є мірою ефекту Пуассона, явища, при якому матеріал має тенденцію розширюватися в напрямках, перпендикулярних до напрямку стиснення. І навпаки, якщо матеріал розтягується, він зазвичай має тенденцію стискатися в напрямках, поперечних до напрямку розтягування. Це поширене спостереження, коли гумова стрічка розтягується, вона стає помітно тоншою. Знову ж таки, коефіцієнт Пуассона буде відношенням відносного поперечного стиснення до відносного видовження і матиме значення, як згадувалось вище. У деяких рідкісних випадках^[5] матеріал може стискатись в поперечному напрямку при стисканні (або розширюватись при розтягуванні), що призведе згідно з визначенням до від'ємного значення коефіцієнта Пуассона.

Коефіцієнт Пуассона стабільного, ізотропного, лінійно-пружного матеріалу повинен бути в межах від -1,0 до +0,5 через вимогу, щоб модуль Юнга, модуль зсуву та модуль об'ємної пружності мали додатні значення^[6]. Абсолютно нестисливий ізотропний матеріал, що пружно деформується при малих деформаціях, матиме коефіцієнт Пуассона рівно 0,5. Більшість сталей та твердих полімерів, коли вони використовуються у своїх розрахункових межах (до досягнення границі плинності), демонструють значення коефіцієнта близьке до 0,3, яке зростає до 0,5 при деформуванні після досягнення границі плинності, це означає, що пластичне деформування відбувається практично при незмінному об'ємі^[7]. Коефіцієнт Пуассона гуми дорівнює майже 0,5. Коефіцієнт Пуассона корка близький до нуля, демонструючи дуже незначне бічне розширення при стисканні. Скло має значення від 0,18 до 0,30. Деякі матеріали, наприклад, деякі полімерні піни, складки орігамі^[8]^[9] та певні стільникові структури, можуть демонструвати від'ємний коефіцієнт Пуассона і носять назву «ауксетики». Якщо ці матеріали розтягувати в одному напрямку, вони стають товщими в перпендикулярному напрямку. Навпаки, деякі анізотропні матеріали, такі як вуглецеві нанотрубки, листові матеріали із зигзагоподібною структурою^[10]^[11] та ауксетичні метаматеріали у формі стільників^[12] можуть демонструвати один або декілька значень коефіцієнта Пуассона вище за 0,5 у певних напрямках.

Підсумовуючи вище зазначене та припускаючи, що матеріал зазнає розтягу або стиску лише в одному напрямку (вісь $x$ на діаграмі нижче):

\nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}

де $ν$ — коефіцієнт Пуассона,

ε trans

— поперечна відносна деформація,

ε axial

— осьова (поздовжня) відносна деформація.

Тут додатна деформація вказує на розтягнення, а від'ємна на деформація — на стиснення.

Геометричне тлумачення коефіцієнта Пуассона

Зміна довжини

Для куба, розтягненого у напрямі осі $x$ зі збільшенням довжини на $Δ L$ у напрямку $x$ , та зменшенням розміру на $Δ L'$ у напрямках $y$ та $z$ , нескінченно малі відносні деформації задаються як

d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}},\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}},\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.

Якщо коефіцієнт Пуассона є постійним під час деформування, інтегрування цих виразів та використання визначення коефіцієнта Пуассона дає

-\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.

Розв'язання та піднесення до степеня, співвідношення між $Δ L$ та $Δ L'$ дасть

\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.

Для дуже малих значень $Δ L$ і $Δ L'$ , наближення першого порядку дає:

\nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.

.

Зміна об'єму

Відносна зміна об'єму $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ΔV/V$ куба при розтягуванні матеріалу тепер можна розрахувати. Так як $V = L 3$ і

V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}

Можна вивести

{\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1

Використовуючи вище виведене співвідношення між $Δ L$ and $Δ L'$ :

{\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1

І для дуже малих величин $Δ L$ і $Δ L'$ , наближення першого порядку дає:

{\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}

Для ізотропних матеріалів можна використовувати співвідношення Ламе^[13]

\nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}

де $K$ — модуль всебічного стиску і $E$ — модуль Юнга.

Зміна поперечного розміру

Якщо стрижень діаметром (або шириною, або товщиною) $d$ та довжиною $L$ розтягнути так, що його довжина зміниться на $Δ L$ , то його діаметр $d$ зміниться на:

{\frac {\Delta d}{d}}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}

.

Наведена вище формула справедлива лише для випадку малих деформацій; якщо деформації великі, то можна використовувати точнішу формулу:

\Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right),

де: $d$ — початковий діаметр;

Δ d

— зміна діаметра;

ν

— коефіцієнт Пуассона;

L

— початкова довжина;

Δ L

— зміна довжини.

Значення буде від'ємним, оскільки діаметр зменшується зі збільшенням довжини.

Характеристика матеріалів

Ізотропні матеріали

Для лінійного ізотропного матеріалу, що піддається лише стискаючим (тобто нормальним) силам, деформація матеріалу в напрямку однієї осі призведе до деформації матеріалу вздовж іншої осі у тривимірному просторі. Отже, можна узагальнити закон Гука (для стискаючих сил) на випадок трьох вимірів:

{\begin{aligned}\varepsilon _{xx}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{yy}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\right)\right]\\[6px]\varepsilon _{zz}&={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]\end{aligned}}

де: $ε xx$ , $ε yy$ , and $ε zz$ — відносні деформації у напрямках осей $x$ , $y$ і $z$

σ xx

,

σ yy

, і

σ zz

— нормальні напруження у напрямках

x

,

y

and

z

E

— модуль Юнга (для ізотропних матеріалів не залежить від напрямку)

ν

— коефіцієнт Пуассона (для ізотропних матеріалів однаковий у всіх напрямках).

ці рівняння можна отримати так:

\varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk}\right]

У найзагальнішому випадку також будуть діяти напруження зсуву, а також нормальні напруження, і повне узагальнення закону Гука задається формулою:

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]

,

де $δ ij$ символ Кронекера. У нотації Ейнштейна зазвичай приймається:

\sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}

записати рівняння просто як:

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]

.

Анізотропні матеріали

Для анізотропних матеріалів коефіцієнт Пуассона залежить від напрямку розтягування та поперечної деформації

{\begin{aligned}\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )&=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }\\[4px]E^{-1}(\mathbf {n} )&=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }\end{aligned}}

Тут $ν$ — коефіцієнт Пуассона, $E$ — модуль Юнга, $n$ — одиничний вектор, спрямований вздовж напрямку розтягу, $m$ — одиничний вектор спрямований перпендикулярно до напрямку розтягування. Коефіцієнт Пуассона має різну кількість спеціальних напрямків залежно від типу анізотропії^[14]^[15].

Ортотропні матеріали

Ортотропні матеріали мають три взаємно перпендикулярні площини симетрії у своїх механічних властивостях. Прикладом може бути деревина, яка є найжорсткішою (і міцною) вздовж волокон, і менше жорсткою в інших напрямках.

Тоді закон Гука можна виразити в матричній формі як^[16]^[17]:

{\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}

де: $E i$ — модуль Юнга уздовж осі $i$

G ij

— модуль зсуву у напрямі

j

у площині, нормальній до напряму

i

ν ij

— коефіцієнт Пуассона is the Poisson ratio що відповідає стисненню в напрямку

j

, коли застосовується розтяг в напрямку

i

.

Коефіцієнт Пуассона ортотропного матеріалу різний у кожному напрямку (x, y та z). Однак симетрія тензорів напружень та деформацій означає, що не всі шість коефіцієнтів Пуассона в рівнянні є незалежними. Існує лише дев'ять незалежних властивостей матеріалу: три модулі пружності, три модулі зсуву та три коефіцієнти Пуассона. Решту три коефіцієнти Пуассона можна отримати зі співвідношень

{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}\,,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}

З наведених вище співвідношень ми бачимо, що якщо $E x > E y$ тоді $ν xy > ν yx$ . Більше співвідношення (у цьому випадку $ν xy$ ) називається головним коефіцієнтом Пуассона, тоді як менше (у цьому випадку $ν yx$ ) називається малим коефіцієнтом Пуассона. Можна знайти подібні співвідношення між іншими коефіцієнтами Пуассона

Трансверсально ізотропні матеріали

Трансверсально ізотропні матеріали мають площину ізотропії, у якій пружні властивості є ізотропними. Якщо припустити, що ця площина ізотропії є площиною yz, то закон Гука набуде вигляду^[18]

{\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}

where we have used the $yz$ -plane of isotropy to reduce the number of constants, that is,

E_{y}=E_{z},\qquad \nu _{xy}=\nu _{xz},\qquad \nu _{yx}=\nu _{zx},

де використано площину ізотропії $yz$ , щоб зменшити кількість констант, тобто

{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}},\qquad \nu _{yz}=\nu _{zy}.

Це залишає шість незалежних констант $E x$ , $E y$ , $G xy$ , $G yz$ , $ν xy$ , $ν yz$ . Однак, поперечна ізотропія створює додаткове обмеження між $G yz$ і $E y$ , $ν yz$ у вигляді

G_{yz}={\frac {E_{y}}{2\left(1+\nu _{yz}\right)}}.

Отже, існує п'ять незалежних властивостей пружного матеріалу, дві з яких є коефіцієнтами Пуассона. Для припущеної площини симетрії більше з $ν xy$ та $ν yx$ є головним коефіцієнтом Пуассона. Інші головний та малий коефіцієнти Пуассона однакові.

Значення коефіцієнта Пуассона для різних матеріалів

Матеріал	коефіцієнт Пуассона ν
Алюміній	0,34
Вольфрам	0,29
Германій	0,31
Дюралюміній	0,34
Іридій	0,26
Кварцове скло	0,17
Константан	0,33
Латунь	0,35
Манганин	0,33
Мідь	0,35
Органічне скло	0,35
Полістирол	0,35
Свинець	0,44
Срібло	0,37
Сірий чавун	0,22
Сталь	0,28
Скло	0,25
Порцеляна	0,23

Матеріали з від'ємним значенням коефіцієнта Пуассона

Деякі матеріали, відомі як ауксетичні матеріали, демонструють від'ємне значення коефіцієнта Пуассона. При позитивній деформації вздовж поздовжньої осі поперечна деформація в матеріалі фактично буде також позитивною (тобто вона збільшить площу поперечного перерізу). Для цих матеріалів це зазвичай пов'язане з унікально орієнтованими шарнірними молекулярними зв'язками. Щоб ці зв'язки розтягувалися в поздовжньому напрямку, шарніри повинні «розкриватися» в поперечному напрямку, ефективно демонструючи позитивну деформацію^[20]. Це також можна зробити шляхом структурування і призвести до нових аспектів у проєктуванні матеріалів, як то для механічних метаматеріалів^[en].

Дослідження показали, що деякі види твердої деревини демонструють від'ємний коефіцієнт Пуассона виключно під час випробування на повзучість при стисканні^[21]^[22]. Спочатку випробування на повзучість при стисканні показує додатні коефіцієнти Пуассона, але поступово зменшуються, доки не досягнуть від'ємних значень. Отже, це також показує, що коефіцієнт Пуассона для деревини залежить від часу при сталому навантаженні, а це означає, що деформація в осьовому та поперечному напрямку не збільшується з однаковою швидкістю.

Середовища зі штучно розробленою мікроструктурою можуть демонструвати від'ємний коефіцієнт Пуассона. У простому випадку ауксетичність досягається шляхом видалення матеріалу та створення періодичного пористого середовища^[23]. Ґратки можуть досягати нижчих значень коефіцієнта Пуассона^[24], яке може бути необмежено близьким до граничного значення −1 для випадку ізотропії^[25].

Встановлено більше трьохсот кристалічних матеріалів мають від'ємний коефіцієнт Пуассона^[26]^[27]^[28]. Наприклад, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS₂ та інші.

Функція Пуассона

При скінченних деформаціях зв'язок між поперечними та осьовими деформаціями ε_trans та ε_axial зазвичай погано описується коефіцієнтом Пуассона. Фактично, коефіцієнт Пуассона часто вважається функцією досягненої деформації в режимі великих деформацій. У таких випадках коефіцієнт Пуассона замінюється функцією Пуассона, для якої існує декілька конкуруючих визначень^[29]. Визначаючи поперечне розтягнення $λ trans = ε trans + 1$ та осьове розтягнення $λ axial = ε axial + 1$ , де поперечне розтягнення є функцією осьового розтягнення, найпоширенішими є функції Генкі, Біо, Гріна та Альмансі:

{\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}

Прояви ефекту Пуассона

Одним з випадків, де ефект Пуассона має значний вплив, є потоки у трубах під тиском. Коли газ чи рідина всередині труби перебуває під високим тиском, він діє рівномірно на внутрішню частину труби, що призводить до виникнення колового напруження в матеріалі труби. Через ефект Пуассона це колове напруження призведе до збільшення діаметра труби та деякого зменшення довжини. Зменшення довжини, зокрема, може мати помітний вплив на з'єднання труб, оскільки ефект накопичуватиметься для кожної секції труби, з'єднаної послідовно. Зафіксоване з'єднання може розтягнутися і привести до розгерметизації чи навіть до руйнування кріпильних елементів.

Ще однією сферою прояву ефекту Пуассона є структурна геологія. Гірські породи, як і більшість матеріалів, демонструють ефект Пуассона, перебуваючи під навантаженням. У геологічному масштабі часу надмірна ерозія або седиментація земної кори може або створювати, або усувати великі вертикальні напруження на підстилаючу породу. Ця порода розширюватиметься або стискатиметься у вертикальному напрямку як прямий наслідок прикладеного навантаження, а також деформуватиметься в горизонтальному напрямку в результаті ефекту Пуассона. Ця зміна деформації в горизонтальному напрямку може впливати на тріщини та внутрішні напруження в породі або спричиняти появу їх^[30].

Див. також

Примітки

↑ ^а ^б ^в 4-18 // Quantities and units — Part 4: Mechanics — 2 — Міжнародна організація зі стандартизації, 2019. — 15 с.
d:Track:Q15028 d:Track:Q73391977
↑ ^а ^б 4-17 // Quantities and units—Part 4: Mechanics — 1 — ISO, 2006. — 24 p.
d:Track:Q26711933 d:Track:Q15028
↑ ^а ^б ДСТУ EN ISO 80000-4:2022 (EN ISO 80000-4:2019, IDT; ISO 80000-4:2019, IDT) Величини та одиниці. Частина 4. Механіка
↑ Jastrzebski, D. (1959). Nature and Properties of Engineering Materials (Wiley International ed.). John Wiley & Sons, Inc.
↑ Lakes, R.; Wojciechowski, K. W. (2008). Negative compressibility, negative Poisson's ratio, and stability. Physica Status Solidi B. 245 (3): 545—551. Bibcode:2008PSSBR.245..545L. doi:10.1002/pssb.200777708.
↑ Gercek, H. (січень 2007). Poisson's ratio values for rocks. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 44 (1): 1—13. Bibcode:2007IJRMM..44....1G. doi:10.1016/j.ijrmms.2006.04.011.
↑ Park, R. J. T. Seismic Performance of Steel-Encased Concrete Piles.
↑ Mark, Schenk (2011). Folded Shell Structures, PhD Thesis (PDF). University of Cambridge, Clare College.
↑ Wei, Z. Y.; Guo, Z. V.; Dudte, L.; Liang, H. Y.; Mahadevan, L. (21 травня 2013). Geometric Mechanics of Periodic Pleated Origami (PDF). Physical Review Letters. 110 (21): 215501. arXiv:1211.6396. Bibcode:2013PhRvL.110u5501W. doi:10.1103/PhysRevLett.110.215501. PMID 23745895. S2CID 9145953.
↑ Eidini, Maryam; Paulino, Glaucio H. (2015). Unraveling metamaterial properties in zigzag-base folded sheets. Science Advances. 1 (8): e1500224. arXiv:1502.05977. Bibcode:2015SciA....1E0224E. doi:10.1126/sciadv.1500224. ISSN 2375-2548. PMC 4643767. PMID 26601253.
↑ Eidini, Maryam (2016). Zigzag-base folded sheet cellular mechanical metamaterials. Extreme Mechanics Letters. 6: 96—102. arXiv:1509.08104. Bibcode:2016ExML....6...96E. doi:10.1016/j.eml.2015.12.006. S2CID 118424595.
↑ Mousanezhad, Davood; Babaee, Sahab; Ebrahimi, Hamid; Ghosh, Ranajay; Hamouda, Abdelmagid Salem; Bertoldi, Katia; Vaziri, Ashkan (16 грудня 2015). Hierarchical honeycomb auxetic metamaterials. Scientific Reports. 5: 18306. Bibcode:2015NatSR...518306M. doi:10.1038/srep18306. ISSN 2045-2322. PMC 4680941. PMID 26670417.
↑ Mott, P. H.; Roland, C. M. (3 квітня 2012). Limits to Poisson's ratio in isotropic materials—general result for arbitrary deformation. Physica Scripta. Chemistry Division, Naval Research Laboratory. 87 (5): 055404. arXiv:1204.3859. doi:10.1088/0031-8949/87/05/055404. S2CID 55920779.
↑ Epishin, A. I.; Lisovenko, D. S. (2016). Extreme values of Poisson's ratio of cubic crystals. Technical Physics (англ.). 61 (10): 1516—1524. Bibcode:2016JTePh..61.1516E. doi:10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID 140493258.
↑ Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S. (2019). Extreme values of Young's modulus and Poisson's ratio of hexagonal crystals. Mechanics of Materials (англ.). 134: 1—8. Bibcode:2019MechM.134....1G. doi:10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID 140493258.
↑ Boresi, A. P; Schmidt, R. J.; Sidebottom, O. M. (1993). Advanced Mechanics of Materials. Wiley.^{[сторінка?]}
↑ Lekhnitskii, S. G. (1981). Theory of elasticity of an anisotropic elastic body. Mir Publishing. с. 36.
↑ Tan, S. C. (1994). Stress Concentrations in Laminated Composites. Lancaster, PA: Technomic Publishing Company.^{[сторінка?]}
↑ Fluegel, Alexander. Poisson's Ratio Calculation for Glasses. www.glassproperties.com. Архів оригіналу за 23 жовтня 2017. Процитовано 28 квітня 2018.
↑ Lakes, Rod. Negative Poisson's ratio. silver.neep.wisc.edu. Архів оригіналу за 16 лютого 2018. Процитовано 28 квітня 2018.
↑ Ozyhar, Tomasz; Hering, Stefan; Niemz, Peter (March 2013). Viscoelastic characterization of wood: Time dependence of the orthotropic compliance in tension and compression. Journal of Rheology. 57 (2): 699—717. Bibcode:2013JRheo..57..699O. doi:10.1122/1.4790170. ISSN 0148-6055.
↑ Jiang, Jiali; Erik Valentine, Bachtiar; Lu, Jianxiong; Niemz, Peter (1 листопада 2016). Time dependence of the orthotropic compression Young's moduli and Poisson's ratios of Chinese fir wood (PDF). Holzforschung. 70 (11): 1093—1101. doi:10.1515/hf-2016-0001. hdl:20.500.11850/122097. ISSN 1437-434X. S2CID 137799672.
↑ Carta, Giorgio; Brun, Michele; Baldi, Antonio (2016). Design of a porous material with isotropic negative Poisson's ratio. Mechanics of Materials. 97: 67—75. Bibcode:2016MechM..97...67C. doi:10.1016/j.mechmat.2016.02.012.
↑ Cabras, Luigi; Brun, Michele (2016). A class of auxetic three-dimensional lattices. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 91: 56—72. arXiv:1506.04919. Bibcode:2016JMPSo..91...56C. doi:10.1016/j.jmps.2016.02.010. S2CID 85547530.
↑ Cabras, Luigi; Brun, Michele (2014). Auxetic two-dimensional lattices with Poisson's ratio arbitrarily close to -1. Proceedings of the Royal Society A. 470 (2172): 20140538. arXiv:1407.5679. Bibcode:2014RSPSA.47040538C. doi:10.1098/rspa.2014.0538. S2CID 119321604.
↑ Goldstein, R.V.; Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S. (2013). Classification of cubic auxetics. Physica Status Solidi B (англ.). 250 (10): 2038—2043. Bibcode:2013PSSBR.250.2038G. doi:10.1002/pssb.201384233. S2CID 117802510.
↑ Goldstein, R.V.; Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S. (2011). Variability of elastic properties of hexagonal auxetics. Doklady Physics (англ.). 56 (12): 602—605. Bibcode:2011DokPh..56..602G. doi:10.1134/S1028335811120019. S2CID 120998323.
↑ Goldstein, R.V.; Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S.; Volkov, M.A. (2015). Auxetics among 6-constant tetragonal crystals. Letters on Materials (англ.). 5 (4): 409—413. doi:10.22226/2410-3535-2015-4-409-413.
↑ Mihai, L. A.; Goriely, A. (3 листопада 2017). How to characterize a nonlinear elastic material? A review on nonlinear constitutive parameters in isotropic finite elasticity. Proceedings of the Royal Society A. 473 (2207): 20170607. Bibcode:2017RSPSA.47370607M. doi:10.1098/rspa.2017.0607. PMC 5719638. PMID 29225507.
↑ Lecture Notes in Structural Geology – Effective Stress. Процитовано 3 липня 2019.

Джерела

Божидарник В. В., Сулим Г. Т. Елементи теорії пружності. — Львів: Світ,1994. — 560 c. — ISBN 5-7773-0109-6
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1987). Теоретическая физика. т. VII. Теория упругости. М.: Наука.
Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993.- 655 с. — ISBN 5-11-004083-5

Посилання

[<span_class="wikidata_cite_citetype_Q55771109"_data-entity-id="Q73391977">4-18_//_[[:d:Q73391977|Quantities_and_units_—_Part_4:_Mechanics]]<span_class="wef_low_priority_links">_—_2_—_[[:Міжнародна_організація_зі_стандартизації|Міжнародна_організація_зі_стандартизації]],_2019._—_15&nbsp;с.</span></span><div_style="display:none">[[d:Track:Q15028]][[d:Track:Q73391977]]</div>-1] а ^б ^в 4-18 // Quantities and units — Part 4: Mechanics — 2 — Міжнародна організація зі стандартизації, 2019. — 15 с.
d:Track:Q15028 d:Track:Q73391977

[<span_class="wikidata_cite_citetype_Q55771109"_data-entity-id="Q26711933">4-17_//_[[:d:Q26711933|Quantities_and_units—Part_4:_Mechanics]]<span_class="wef_low_priority_links">_—_1_—_[[:Міжнародна_організація_зі_стандартизації|ISO]],_2006._—_24&nbsp;p.</span></span><div_style="display:none">[[d:Track:Q26711933]][[d:Track:Q15028]]</div>-2] а ^б 4-17 // Quantities and units—Part 4: Mechanics — 1 — ISO, 2006. — 24 p.
d:Track:Q26711933 d:Track:Q15028

[DSTU80000-3] а ^б ДСТУ EN ISO 80000-4:2022 (EN ISO 80000-4:2019, IDT; ISO 80000-4:2019, IDT) Величини та одиниці. Частина 4. Механіка

[4] Jastrzebski, D. (1959). Nature and Properties of Engineering Materials (Wiley International ed.). John Wiley & Sons, Inc.

[lakes-5] Lakes, R.; Wojciechowski, K. W. (2008). Negative compressibility, negative Poisson's ratio, and stability. Physica Status Solidi B. 245 (3): 545—551. Bibcode:2008PSSBR.245..545L. doi:10.1002/pssb.200777708.

[6] Gercek, H. (січень 2007). Poisson's ratio values for rocks. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 44 (1): 1—13. Bibcode:2007IJRMM..44....1G. doi:10.1016/j.ijrmms.2006.04.011.

[7] Park, R. J. T. Seismic Performance of Steel-Encased Concrete Piles.

[8] Mark, Schenk (2011). Folded Shell Structures, PhD Thesis (PDF). University of Cambridge, Clare College.

[9] Wei, Z. Y.; Guo, Z. V.; Dudte, L.; Liang, H. Y.; Mahadevan, L. (21 травня 2013). Geometric Mechanics of Periodic Pleated Origami (PDF). Physical Review Letters. 110 (21): 215501. arXiv:1211.6396. Bibcode:2013PhRvL.110u5501W. doi:10.1103/PhysRevLett.110.215501. PMID 23745895. S2CID 9145953.

[:0-10] Eidini, Maryam; Paulino, Glaucio H. (2015). Unraveling metamaterial properties in zigzag-base folded sheets. Science Advances. 1 (8): e1500224. arXiv:1502.05977. Bibcode:2015SciA....1E0224E. doi:10.1126/sciadv.1500224. ISSN 2375-2548. PMC 4643767. PMID 26601253.

[11] Eidini, Maryam (2016). Zigzag-base folded sheet cellular mechanical metamaterials. Extreme Mechanics Letters. 6: 96—102. arXiv:1509.08104. Bibcode:2016ExML....6...96E. doi:10.1016/j.eml.2015.12.006. S2CID 118424595.

[12] Mousanezhad, Davood; Babaee, Sahab; Ebrahimi, Hamid; Ghosh, Ranajay; Hamouda, Abdelmagid Salem; Bertoldi, Katia; Vaziri, Ashkan (16 грудня 2015). Hierarchical honeycomb auxetic metamaterials. Scientific Reports. 5: 18306. Bibcode:2015NatSR...518306M. doi:10.1038/srep18306. ISSN 2045-2322. PMC 4680941. PMID 26670417.

[13] Mott, P. H.; Roland, C. M. (3 квітня 2012). Limits to Poisson's ratio in isotropic materials—general result for arbitrary deformation. Physica Scripta. Chemistry Division, Naval Research Laboratory. 87 (5): 055404. arXiv:1204.3859. doi:10.1088/0031-8949/87/05/055404. S2CID 55920779.

[14] Epishin, A. I.; Lisovenko, D. S. (2016). Extreme values of Poisson's ratio of cubic crystals. Technical Physics (англ.). 61 (10): 1516—1524. Bibcode:2016JTePh..61.1516E. doi:10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID 140493258.

[15] Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S. (2019). Extreme values of Young's modulus and Poisson's ratio of hexagonal crystals. Mechanics of Materials (англ.). 134: 1—8. Bibcode:2019MechM.134....1G. doi:10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID 140493258.

[Boresi-16] Boresi, A. P; Schmidt, R. J.; Sidebottom, O. M. (1993). Advanced Mechanics of Materials. Wiley.^{[сторінка?]}

[Lekh-17] Lekhnitskii, S. G. (1981). Theory of elasticity of an anisotropic elastic body. Mir Publishing. с. 36.

[Tan-18] Tan, S. C. (1994). Stress Concentrations in Laminated Composites. Lancaster, PA: Technomic Publishing Company.^{[сторінка?]}

[19] Fluegel, Alexander. Poisson's Ratio Calculation for Glasses. www.glassproperties.com. Архів оригіналу за 23 жовтня 2017. Процитовано 28 квітня 2018.

[20] Lakes, Rod. Negative Poisson's ratio. silver.neep.wisc.edu. Архів оригіналу за 16 лютого 2018. Процитовано 28 квітня 2018.

[21] Ozyhar, Tomasz; Hering, Stefan; Niemz, Peter (March 2013). Viscoelastic characterization of wood: Time dependence of the orthotropic compliance in tension and compression. Journal of Rheology. 57 (2): 699—717. Bibcode:2013JRheo..57..699O. doi:10.1122/1.4790170. ISSN 0148-6055.

[22] Jiang, Jiali; Erik Valentine, Bachtiar; Lu, Jianxiong; Niemz, Peter (1 листопада 2016). Time dependence of the orthotropic compression Young's moduli and Poisson's ratios of Chinese fir wood (PDF). Holzforschung. 70 (11): 1093—1101. doi:10.1515/hf-2016-0001. hdl:20.500.11850/122097. ISSN 1437-434X. S2CID 137799672.

[23] Carta, Giorgio; Brun, Michele; Baldi, Antonio (2016). Design of a porous material with isotropic negative Poisson's ratio. Mechanics of Materials. 97: 67—75. Bibcode:2016MechM..97...67C. doi:10.1016/j.mechmat.2016.02.012.

[24] Cabras, Luigi; Brun, Michele (2016). A class of auxetic three-dimensional lattices. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 91: 56—72. arXiv:1506.04919. Bibcode:2016JMPSo..91...56C. doi:10.1016/j.jmps.2016.02.010. S2CID 85547530.

[25] Cabras, Luigi; Brun, Michele (2014). Auxetic two-dimensional lattices with Poisson's ratio arbitrarily close to -1. Proceedings of the Royal Society A. 470 (2172): 20140538. arXiv:1407.5679. Bibcode:2014RSPSA.47040538C. doi:10.1098/rspa.2014.0538. S2CID 119321604.

[26] Goldstein, R.V.; Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S. (2013). Classification of cubic auxetics. Physica Status Solidi B (англ.). 250 (10): 2038—2043. Bibcode:2013PSSBR.250.2038G. doi:10.1002/pssb.201384233. S2CID 117802510.

[27] Goldstein, R.V.; Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S. (2011). Variability of elastic properties of hexagonal auxetics. Doklady Physics (англ.). 56 (12): 602—605. Bibcode:2011DokPh..56..602G. doi:10.1134/S1028335811120019. S2CID 120998323.

[28] Goldstein, R.V.; Gorodtsov, V.A.; Lisovenko, D.S.; Volkov, M.A. (2015). Auxetics among 6-constant tetragonal crystals. Letters on Materials (англ.). 5 (4): 409—413. doi:10.22226/2410-3535-2015-4-409-413.

[29] Mihai, L. A.; Goriely, A. (3 листопада 2017). How to characterize a nonlinear elastic material? A review on nonlinear constitutive parameters in isotropic finite elasticity. Proceedings of the Royal Society A. 473 (2207): 20170607. Bibcode:2017RSPSA.47370607M. doi:10.1098/rspa.2017.0607. PMC 5719638. PMID 29225507.

[30] Lecture Notes in Structural Geology – Effective Stress. Процитовано 3 липня 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

Словники та енциклопедії	Велика данська енциклопедія · Encyclopædia Britannica · Internetowa encyklopedia PWN
Нормативний контроль	Freebase: /m/01j_v5 · GND: 4337457-8