Коло

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Коло

Ко́ло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.

Коло з центром у точці О і радіусом r позначають О(r).

Інструментом для побудови кола є циркуль — один із основних інструментів геометрії.

Термінологія[ред.ред. код]

Внутрішню частину кола, тобто геометричне місце точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.

Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд, діаметр, проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.

Пряма може не мати з колом спільних точок, мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).

Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.


Хорда, січна, дотична, діаметр.
Дуга, сектор та сегмент


Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.

Означення кола[ред.ред. код]

Алгебраїчне означення[ред.ред. код]

Коло радіуса r = 1, з центром (a, b) = (1.2, −0.5)

Коло радіуса r на площині з декартовою системою координат Oxy описується рівнянням:


\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2,

де r — радіус кола, точка (a, b) — центр кола.

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застосовувані до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

x^2 + y^2 = r^2. \!\

Загальне рівняння кола:

Ax^2+Ay^2+Dx+Ey+F =0 \!

Якщо відомі координати трьох точок на площині \left(x_1, y_1\right), \left(x_2, y_2\right) і \left(x_3, y_3\right), то рівняння кола, яке проходить через ці точки можна записати через визначник:

\begin{vmatrix}
x^2 + y^2 & x & y & 1 \\
x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 
\end{vmatrix} = 0.

Параметричне означення[ред.ред. код]

Коло на площині, радіуса r, в декартовій системі координат x і y, описується системою рівнянь:

\left\{ \begin{array}{ccl} 
x &=& a+r\,\cos t \\ 
y &=& b+r\,\sin t
\end{array}
\right.,

де параметр t — пробігає значення від 0 до 2\pi. З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (xy). Якщо записати x та y через параметр t, отримаєм:

 x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}
 y = b + r \frac{2t}{1+t^2}.

Полярні координати[ред.ред. код]

Рівняння кола в полярних координатах:


r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2\,

де a — радіус кола, r0 — відстань від початку координат до центру кола та φ — кут відкладений проти годинникової стрілки від додатньої осі x до лінії що з'єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r0 = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r0 = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуєм рівняння:

r = 2 a\cos(\theta - \phi).

В загальному випадку, рівняння можна розв'язати для r:

r = r_0 \cos(\theta - \phi) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \phi)},

Розв'язок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Комплексна площина[ред.ред. код]

Рівняння кола на комплексній площині:

\left|z - z_0\right| = R\,, де z_0 — центр кола, з радіусом R,

або в параметричному вигляді

z=z_0 + Re^{it},\,t\in\R.\,

Означення Аполлонія[ред.ред. код]

\frac{d_1}{d_2}=\textrm{const}

Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками

Властивості[ред.ред. код]

  • Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і притому тільки одне.
  • Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.
  • Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.
  • Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.
    • Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
    • Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90°.
  • Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.
  • Кут між хордами, що перетинаються дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті і дуги навпроти неї.
  • Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
  • Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
  • При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків на які ділиться інша.
  • Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступені точки відносно кола.
    • Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

Довжина кола і площа круга[ред.ред. код]

Довжину дуги кола з радіусом  R , утвореного центральним кутом  \varphi , виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою

 L = \varphi R .

Довжину кола з радіусом  R можна обчислити за формулою

 \ C = 2 \pi R ,

де  \pi  — число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.

Площа обмеженого колом круга дорівнює

 S = \pi R^2 = \pi \frac{D^2}{4} ,

де  D = 2R  — діаметр.

Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру кола: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрату з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцедентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеманн.

Коло як конічний переріз[ред.ред. код]

Коло є простою плоскою кривою другого порядку і класифікується як один із видів конічного перетину. У вужчому сенсі коло — окремий випадком еліпса, тобто еліпс із однаковими півосями, або іншими словами коло є еліпсом із одиничним ексцентриситетом.

Дотичні і нормалі[ред.ред. код]

Рівняння дотичної до кола в точці \left(x_1,y_1\right) визначається рівнянням

\left(\frac{A}{2}+x_1\right)x + \left(\frac{B}{2}+y_1\right)y + \left(\frac{A}{2}x_1+\frac{B}{2}y_1+C\right) = 0,

де A, B і С — коефіцієнти в загальному рівнянні кола.

Рівняння нормалі в цій же точці можна записати як

\frac{x-x_1}{2x_1+A} = \frac{y-y_1}{2y_1+B}.\,

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]