Компактний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.

В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин.

В математичному аналізі компактна множина - це обмежена й замкнута множина в \mathbb{R}^n.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Підмножина топологічного простору, що в індукованій топології є компактним простором, називається компактною множиною або компактом.
  • Множина називається відносно компактною чи предкомпактною, якщо її замикання компактне.
  • Локально компактний простір — топологічний простір, в якому будь-яка точка має окіл, замикання якого компактне.

Властивості[ред.ред. код]

Загальні властивості[ред.ред. код]

Властивості компактних метричних просторів[ред.ред. код]

Приклади компактних множин[ред.ред. код]

  • в будь-якому топологічному просторі множина, що скаладається з однієї точки завжди компактна.
  • замкнуті і обмежені множини в \mathbb{R}^n
  • скінченні підмножини в просторах, що задовольняють аксіомі віддільності \mathbf{T}_1
  • теорема Асколі — Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір C(X) дійсних функцій на метричному компактному просторі X з нормою \|f\|=\sup_x |f(x)|. Тоді замикання множини функцій F в C(X) компактно тоді і тільки тоді, коли F рівномірно обмежена і рівностепенево безперервна.
  • простір Стоуна булевої алгебри
  • компактифікація топологічного простору

Історія[ред.ред. код]

Бікомпактний простір — термін, введений П.С.Александровим як посилення введеного М.Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченому відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіший за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають злічено-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
  • Л.Шварц, Анализ, т. I, М., МИР, 1972.
  • R. Wald, General Relativity