У математиці, зокрема теорії міри, комплексна міра узагальнює поняття міри, дозволяючи їй набувати комплексних значень. Іншими словами, допускаються множини, розмір яких (довжина, площа, об’єм) є комплексними числами.
Формально комплексна міра на вимірному просторі є комплекснозначною функцією
яка є σ-адитивною. Іншими словами, для будь-якої послідовності елементи якої попарно не перетинаються і належать :
З того що для будь-якої перестановки , випливає, що збігається безумовно (а тому і абсолютно).
Варіація комплексної міри[ред. | ред. код]
Для комплексної міри μ визначається її варіація або абсолютне значення, |μ| за формулою
де A належить Σ і супремум береться по всіх послідовностях множин (An)n, що належать Σ, попарно не перетинаються і їх об'єднання є рівним A (такі послідовності називаються розбиттями множини A). Еквівалентно можна розглядати лише скінченні розбиття множини A на вимірні підмножини.
- Варіація |μ| є мірою.
- Нехай і послідовність є розбиттям множини З означення варіації комплексної міри для кожного дійсного числа існує розбиття множини для якого Разом усі множини утворюють розбиття і тому згідно означення варіації комплексної міри Оскільки числа є довільними із вказаною властивістю, то
- Навпаки, якщо є довільним розбиттям множини то є розбиттям множини і тому:
- Оскільки ці нерівності виконуються для всіх то також
- Таким чином із двох протилежних нерівностей одержується рівність Відповідно |μ| є мірою.
- |μ| є скінченною мірою, тобто
- Достатньо довести, що для існують множини із пустим перетином для яких і Дійсно у цьому випадку для можна вибрати множини із такими властивостями, тоді для аналогічно множини , для відповідні множини і т.д. Множини тоді попарно не перетинаються і . Але тоді ряд елементами, якого є не є збіжним і відповідно умова σ-адитивності не може виконуватися.
- Для доведення цієї умови спершу із того, що і означення варіації комплексної міри випливає, що для довільного дійсного числа існує розбиття множини для якого При цьому можна вибрати підмножину множини для якої Справді якщо позначити , то для одного із квадрантів , сума абсолютних значень тих , що належать цьому квадрату є не меншою . Якщо припустити, що це квадрант для якого то для чисел із цього квадранту . Позначивши множину елементів із цього квадранта тоді:
- Якщо взяти то Якщо позначити і , то із вказаних властивостей і також Також із адитивності варіацій комплексної міри випливає, що принаймні одна із величин має бути нескінченною. Помінявши позначення, якщо потрібно одержується необхідні множини
Інтегрування за комплексною мірою[ред. | ред. код]
Можна визначити інтеграл комплексної вимірної функції щодо комплексної міри так само, як інтеграл Лебега для дійснозначної вимірної функції щодо невід’ємної міри шляхом апроксимації вимірної функції за допомогою простих функцій. Як і у випадку звичайного інтегрування, цей більш загальний інтеграл може не існувати, або його значення може бути нескінченним (комплексна нескінченність).
Інший підхід полягає в тому, щоб не розробляти теорію інтегрування з нуля, а використовувати вже доступне поняття інтеграла від дійсної функції щодо невід’ємної міри. Для цього використовується той факт, що дійсна та уявна частини μ1 і μ2 комплексної міри μ є скінченнозначними σ-адитивними зарядами. До цих зарядів можна застосувати розклад Жордана і записати
і
де μ1+, μ1−, μ2+, μ2− є скінченнозначними невід’ємними мірами. Тоді для вимірної дійснозначної функції f, можна визначити
якщо вираз у правій частині має зміст, тобто всі чотири інтеграли існують і при їх додаванні не зустрічаються невизначеності виду ∞−∞.
Для комплекснозначної вимірної функції, можна інтегрувати окремо її дійсні та уявні компоненти окремо, як показано вище і тоді
Полярна форма інтегралу за комплексною мірою[ред. | ред. код]
Подібно до того, як комплексне число може бути представлене в полярній формі, для комплексної міри можна дати «полярний розклад»: а саме, існує вимірна дійснозначна функція θ для якої
що означає, що
для будь-якої абсолютно інтегрованої вимірної функції f, тобто функції f, що задовольняє умову
Ці твердження можна довести за допомогою теореми Радона — Нікодима.
Простір комплексних мір[ред. | ред. код]
Сума двох комплексних мір є комплексною мірою, як і добуток комплексної міри на комплексне число. Тобто множина всіх комплексних мір на просторі мір (X, Σ) утворює векторний простір над комплексними числами. Крім того, загальна варіація рівна за означенням
є нормою, відносно якої простір комплексних мір є простором Банаха.