Комплексна проєктивна площина

Комплексна проєктивна площина — двовимірний комплексний проєктивний простір; є двовимірним комплексним многовидом, дійсна розмірність якого дорівнює 4.

Зазвичай позначається $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$.

Побудова

Точки на комплексній проєктивній площині описуються однорідними комплексними координатами

$(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\neq (0,0,0).$

При цьому трійки, що відрізняються на скаляр, вважаються ідентичними:

$(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

Топологія

• $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ гомеоморфний фактору 5-вимірної сфери $\mathbb {S} ^{5}\subset \mathbb {C} ^{3}$ за дією Гопфа $\mathbb {S} ^{1}$.

• Числа Бетті:

  1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, …..

• $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ однозв'язний, його фундаментальна група тривіальна.
• Нетривіальними гомотопічними групами комплексної проєктивної площини є

  $\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi _{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$.

У старших розмірностях, гомотопічні групи ті самі, що в 5-вимірної сфери.

Алгебрична геометрія

У біраціональній геометрії комплексна раціональна поверхня — це будь-яка алгебрична поверхня, біраціонально еквівалентна комплексній проєктивній площині. Відомо, що будь-який несингулярний раціональний многовид виходить із площини внаслідок послідовності перетворень роздуття і зворотних до них («стягувань») кривих, які мають бути дуже специфічного виду. Як частковий випадок, несингулярні комплексні поверхні другого порядку в P³ виходять із площини після роздуття двох точок до кривих, а потім стягування прямої через ці дві точки. Зворотні до них перетворення можна бачити, якщо взяти точку $P$ на поверхні $Q$ другого порядку, роздути її, і спроєктувати на звичайну площину в P³, провівши прямі через $P$.

Групою біраціональних автоморфізмів комплексної проєктивної площини є група Кремони.

Диференціальна геометрія

Комплексна проєктивна площина є 4-вимірним многовидом. Вона має природну метрику, звану метрикою Фубіні-Штуді з 1/4-защепленою секційною кривиною; тобто її найбільша секційна кривина дорівнює 4, а мінімальна дорівнює 1. Ця метрика ініціюється на факторі $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1}$ за дією Гопфа $\mathbb {S} ^{1}$ на $\mathbb {S} ^{5}$.

Див. також

• Дійсна проєктивна площина
• Поверхня дель Пеццо
• Торична геометрія
• Фальшива проєктивна площина

Література

• П. С. Александров. Курс аналитической геометрии из линейной алгебры. — М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — С. 598. (рос.)
• C. E. Springer. Geometry and Analysis of Projective Spaces. — W. H. Freeman and Company, 1964. — С. 140–3.
• М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. — ISBN 5-93972-020-X. (рос.)
• Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.