Комутант

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Комутант групи (також похідна підгрупа) — підгрупа породжена усіма комутаторами групи. Комутант є найменшою нормальною підгрупою факторгрупа по якій є абелевою. Комутатор групи G, позначається [G,G].

Визначення[ред.ред. код]

Комутатори[ред.ред. код]

Комутатор елементів і  — елемент , що визначається за формулою:

.

Комутант групи[ред.ред. код]

Множина комутаторів є замкнутою щодо взяття оберненого елемента, проте не обов'язково щодо множення. Тобто загалом вона не є підгрупою G. Підгрупа породжена комутаторами і називається комутантом групи [G,G].

  • Довільний елемент комутанта є добутком скінченної кількості комутантів групи G, тобто елементів виду:

Абелізація[ред.ред. код]

Оскільки [G,G] є нормальною підгрупою групи G, можна визначити факторгрупу G по підгрупі [G,G]. Дана факторгрупа є абелевою і називається абелізацією групи G :

Якщо H — нормальна підгрупа G, і факторгрупа G/H є абелевою, то [G,G] є підгрупою H.

Похідні ряди[ред.ред. код]

Конструкцію використану у визначенні комутанта можна далі використати ітеративно:

Групи називаються другою похідною підгрупою, третьою похідною підгрупою, і т. д., і спадний ряд нормальних підгруп:

називається похідним рядом. Якщо для якогось натурального числа n виконується то група G називається розв'язною.

Властивості[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]