Конгруенція
Конгруенція — відношення еквівалентності на алгебричній структурі, що зберігається за основних операцій. Поняття відіграє важливу роль в універсальній алгебрі: будь-яка конгруенція породжує відповідну фактор-структуру — розбиття початкової алгебричної структури на класи еквівалентності відносно конгруенції.
Відношення на множині називають стабільним відносно -арної операції , визначеної на цій множині, якщо для будь-яких елементів () множини з істинності відношень () випливає істинність відношення .
Відношення називають конгруенцією на алгебричній системі , якщо воно стабільне відносно кожної з головних операцій системи . (За такого визначення поняття конгруенції не залежить від основних відношень системи .)
Для алгебричної системи на фактор-множині за конгруенцією для всіх операцій і відношень природним чином вводяться операції і відношення над відповідними класами суміжності:
- ,
- .
Отримана система позначається і називається фактор-структурою, а відображення , яке визначається правилом — канонічним епіморфізмом.
Множина всіх конгруенцій даної системи утворює повну ґратку відносно операцій об'єднання та перерізу, а також задає відношення включення:
- .
Для будь-якого набору конгруенцій заданої алгебричної системи має місце такий результат (теорема Ремака): фактор-структура за перерізом набору конгруенцій вкладається в прямий добуток фактор-структур за кожною з конгруенцій набору:
- .
- Bourbaki. Algebra, Part I. — Hermann, 1973. — С. 516. — (Елементи математики)(англ.)
- Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
- Артамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л.А. и др. Общая алгебра / Под ред. Л.А.Скорнякова. — М. : Наука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — (СМБ) — ISBN 5-02-014427-4.(рос.)