Конструктивне число
У геометрії та алгебрі дійсне число r вважається конструктивним тоді й лише тоді, коли його абсолютне значення |r| може бути побудоване за допомогою циркуля та лінійки за скінченну кількість кроків, враховуючи одиничний відрізок як стандартну одиницю виміру[1][2]. Не всі дійсні числа є конструктивними, і для їхнього опису зазвичай застосовують алгебраїчні методи. Однак для ефективного використання цих методів корисно спочатку встановити зв'язок між точками та конструктивними числами.
Точка в евклідовій площині вважається конструктивною, якщо вона:
- є кінцевою точкою даного одиничного відрізка;
- є точкою перетину двох прямих, утворених раніше визначеними конструктивними точками;
- є точкою перетину прямої з колом, центр якого — конструктивна точка, а радіус проходить через іншу конструктивну точку;
- є точкою перетину двох таких кіл[3].
Запровадивши декартові координати, де одна кінцева точка одиничного відрізка знаходиться в (0,0), а інша в (1,0), можна показати, що координати конструктивних точок також є конструктивними числами[4].
У алгебрі число вважається конструктивним тоді й лише тоді, коли його можна отримати, використовуючи чотири основні арифметичні операції та добування квадратного кореня (але не коренів вищого порядку) з конструктивних чисел, які завжди містять 0 та 1.
Множину конструктивних чисел можна описати мовою теорії полів: вони утворюють квадратичне замикання множини раціональних чисел — найменше розширення поля, яке є замкненим щодо квадратних коренів[5]. Це дозволяє перетворювати геометричні задачі циркуля та лінійки в алгебраїчні, що допомогло розв'язати багато математичних проблем, які залишалися нерозв'язуваними протягом століть.
- ↑ John A. Beachy та William D. Blair. ABSTRACT ALGEBRA § 6.3 Geometric constructions (англ.) . Архів оригіналу за 6 лютого 2012.
- ↑ Fraileigh, 1994, p. 426
- ↑ Kazarinoff, 2003, p. 10
- ↑ Kazarinoff, 2003, p. 15
- ↑ Kazarinoff, 2003, p. 46
- Fraleigh, John B. (1994), A First Course in Abstract Algebra (вид. 5th), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
- Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, Macmillan, ISBN 0-02-353820-1
- Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round /Classic Problems in Geometric Constructions, Dover, ISBN 0-486-42515-0
- Moise, Edwin E. (1974), Elementary Geometry from an Advanced Standpoint (вид. 2nd), Addison Wesley, ISBN 0-201-04793-4
- Roman, Steven (1995), Field Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94408-1
- Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (вид. 3rd), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
- Stewart, Ian (1989), Galois Theory (вид. 2nd), Chapman and Hall, ISBN 978-0-412-34550-0
- Weisstein, Eric W. Constructible Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.(англ.)
- Constructible Numbers [Архівовано 28 лютого 2019 у Wayback Machine.] на Cut-the-knot(англ.)