Конус

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Прямий і похилий конуси

Ко́нус — геометричне тіло, отримане шляхом об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки — вершини конуса, і таких що проходять через довільну плоску поверхню. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину і точки пласкої поверхні (яку в такому випадку називають основою конуса, а конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Надалі буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про інше.

За ДСТУ: конус — узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють конічну поверхню, конічну деталь чи конічний елемент[1]

Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), називається висотою конуса. Якщо площа основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає пірамідою. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.

Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою границі його основи називається твірною конуса. Множина всіх твірних конуса називається бічною поверхнею конуса.

Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є еліпсом) і ортогональна проекція вершини конуса на його основу збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи називається віссю конуса. Якщо ж ортогональна проекція вершини не збігається з центром основи, то такий конус називається косим.

Конус обертання[ред.ред. код]

Якщо основою конуса є круг, то конус називають круговим. Прямий круговий конус (часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів, який таким чином стане віссю конуса. Конус обертання в прямокутній системі координат описується системою нерівностей:

\left\{ {{x^2 +y^2 \le \left(\frac{zr}{h}\right)^2}\atop {0\le z\le h}}\right .
де r>0,\ h>0

Перетин площини з прямим круговим конусом є одним з конічних перерізів (в невироджених випадках — еліпсом, параболою чи гіперболою, в залежності від розміщення січної площини).

Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною до основи і знаходиться між вершиною і основою, називається зрізаним конусом.

Конус, що спирається на еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).

Площа поверхні конуса[ред.ред. код]

Прямий круговий конус

Повна площа прямого кругового конуса

S = \pi r(r+l) ,

де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

Площа бічної поверхні прямого кругового конуса

S_b = \pi r l,

де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

Об'єм конуса[ред.ред. код]

У загальному випадку:

 V = \frac{1}{3}Sh ,

де S — площа основи, h — висота конуса.

Об'єм кругового конуса, відповідно:

 V = \frac{1}{3}\pi r^2h ,

Кут конуса[ред.ред. код]

Цей термін означає кут \alpha при вершині в осьовому перерізі конуса.

 \alpha = 2 \operatorname{arctg} \frac{r}{h}

Об'єм кулі, описаної навколо прямого кругового конуса[ред.ред. код]

V_k={1 \over 6} \pi \frac{l^6}{ (l^2-r^2) \sqrt{l^2-r^2}}
де  l  — твірна конуса;

 r  — радіус основи конуса.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. ДСТУ 2499-94 Конуси та конічні з'єднання. Терміни та визначення.

Джерела[ред.ред. код]

  • Геометрія. 10-11 класи [Текст] : пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль : Навчальна книга- Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8