Конус

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Прямий і похилий конуси

Ко́нус (геометрія) (лат. conus від дав.-гр. κώνος — «шпичак шолома», «шишка»)[1] — геометричне тіло, отримане шляхом об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки — вершини конуса, і таких що проходять через довільну плоску криву. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину і точки пласкої поверхні (яку в такому випадку називають основою конуса, а конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Надалі буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про інше.

За ДСТУ: конус — узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють конічну поверхню, конічну деталь чи конічний елемент[2].

Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), називається висотою конуса. Якщо площа основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає пірамідою. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.

Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою границі його основи називається твірною конуса. Множина всіх твірних конуса називається бічною поверхнею конуса.

Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є еліпсом) і ортогональна проекція вершини конуса на його основу збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи називається віссю конуса. Якщо ж ортогональна проекція вершини не збігається з центром основи, то такий конус називається косим.

Означення кругового конуса[ред. | ред. код]

У курсі шкільної геометрії розглядають конус (точніше, прямий круговий конус). Конусом (точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається із круга - основи конуса, точки, що не лежить в площині цього круга, - вершини конуса і всіх відрізків, які з'єднують вершину конуса з точками основи.

Конус обертання[ред. | ред. код]

Прямий круговий конус (часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів, який таким чином стане віссю конуса. Конус обертання в прямокутній системі координат описується системою нерівностей:

де

З усіх конусів тільки прямий круговий є тілом обертання.

Перетин площини з прямим круговим конусом є одним з конічних перерізів (в невироджених випадках — еліпсом, параболою чи гіперболою, в залежності від розміщення січної площини).

Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною до основи і знаходиться між вершиною і основою, називається зрізаним конусом.

Конус, що спирається на еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).

Площа поверхні конуса[ред. | ред. код]

Прямий круговий конус

Повна площа прямого кругового конуса

,

де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

Площа бічної поверхні прямого кругового конуса

,

де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

Об'єм конуса[ред. | ред. код]

У загальному випадку:

,

де S — площа основи, h — висота конуса.

Об'єм кругового конуса, відповідно:

,

Формулу об'єму конуса легко отримати із використанням інтегрального числення. Ми знаємо, що об'єм твердого тіла дорівнює інтегралу площі його перерізу вздовж певної осі. Отже, з точністю до сталої, це інтеграл

Кут конуса[ред. | ред. код]

Цей термін означає кут при вершині в осьовому перерізі конуса.

Вписані та описані тіла[ред. | ред. код]

Конус, описаний навколо піраміди[ред. | ред. код]

Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основа - многокутник, навколо якого можна описати коло, а вершина піраміди проектується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висоти конуса і піраміди збігаються.

Конус, вписаний у піраміду[ред. | ред. код]

Конус можна вписати в піраміду, якщо її основа - многокутник, у який можна вписати коло, а вершина піраміди проектується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висота конуса і піраміди збігаються.

Куля, описана навколо конуса[ред. | ред. код]

Куля, описана навколо конуса

Кулю можна описати навколо довільного конуса. Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса. Переріз площиною, що проходить через вісь конуса (осьовий переріз). Об'єм кулі, описаної навколо прямого кругового конуса:

, де  — твірна конуса;  — радіус основи конуса.
Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням:
Куля, вписана в конус

Це співвідношення справедливе зокрема для випадку, коли .

Куля, вписана в конус[ред. | ред. код]

Кулю можна вписати в довільний конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, яка паралельна основі конуса. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса. Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням:

Земляний конус

Форму конусів мають насипані на горизонтальній поверхні купи піску, зерна, вугілля, породи, щебеню тощо. Кожному такому матеріалу відповідає кут природного укосу[3] - кут нахилу твірної до площини основи конуса. Для піску він дорівнює приблизно 30°, для вугілля - 42°, для породи - 46°.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Етимологічний словник української мови : у 7 т. : т. 2 : Д — Копці / Ін-т мовознавства ім. О. О. Потебні АН УРСР ; укл.: Н. С. Родзевич та ін ; редкол.: О. С. Мельничук (гол. ред.) та ін. — К. : Наукова думка, 1985. — Т. 2 : Д — Копці. — 572 с.
  2. ДСТУ 2499-94 Конуси та конічні з'єднання. Терміни та визначення.
  3. Геометрія (Бевз, Владімірова) 11 клас. Шкільні підручники онлайн (uk). Процитовано 2019-12-25. 

Джерела[ред. | ред. код]

1. Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга- Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8

2. Геометрія. 11 клас [Текст]: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профіл.рівень / Бевз Г. П. [та ін.]. — Київ: Генеза, 2011. — 336 с.

3. Геометрія: Стереометрія: 10-11 класи [Текст]: підручник / Погорєлов О. В.  — Київ: Освіта, 2001. — 128 с.

4. Наочний довідник з геометрії [Текст] / Генденштейн Л. Е., Єршова А. П.  — Харків - Тернопіль: Гімназія - Підручники і посібники, 1997. — 96 с.