Конус відображення

У математиці , особливо теорії гомотопії , конус відображення $C_{f}$ є конструкцією визначеною для кожного неперервного відображення між топологічними просторами. Конус відображення можна розглядати як циліндр відображення $Mf$, один кінець якого стискується до точки. Конуси відображення часто застосовуються у теорії гомотопії просторів із виділеною точкою.

Означення

Нехай $f\colon X\to Y$ є неперервним відображенням між топологічними просторами. Конус відображення $C_{f}$ є фактор-простором циліндра відображення $(X\times I)\sqcup _{f}Y$ згідно відношення еквівалентності $(x,0)\sim (x',0)\,$, $(x,1)\sim f(x)\,$ на X. Тут $I$ позначає одиничний відрізок [0,1] із стандартною топологією.

Для відображення просторів із виділеною точкою $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0}),$ (при якому $f\colon x_{0}\mapsto y_{0}$), також відбувається ідентифікація всіх точок виду ${x_{0}}\times I$; тобто, $(x_{0},t)\sim (x_{0},t')\,.$

Подвійний циліндр відображення

Конус відображення є окремим випадком подвійного циліндра відображення. Цей простір є циліндром $X\times I$ один кінець якого приєднується до $Y_{1}$ через неперервне відображення

$f_{1}:X\to Y_{1}$

а інший кінець до простору $Y_{2}$ через неперервне відображення

$f_{2}:X\to Y_{2}$

Конус відображення є прикладом подвійного циліндра відображення для якого один із просторів $Y_{1},Y_{2}$ є одноточковим.

Приклади

• Якщо $X$ є колом $S^{1}$, конус відображення $C_{f}$ можна розглядати як фактор-простір диз'юнктного об'єднання Y із кругом $D^{2}$ через ідентифікацію точок x на границі круга $D^{2}$ із точками $f(x)$ у Y.

• Нехай, наприклад, Y є кругом $D^{2}$ і $f\colon S^{1}\to Y=D^{2}$ є стандартним включенням $S^{1}$ як границі $D^{2}$. Тоді конус відображення $C_{f}$ є гомеоморфним двом кругам склеєним на по їх границях, тобто гомеоморфним сфері $S^{2}$.
• Якщо $\textstyle f\colon \coprod _{i\in I}S_{i}^{n}\rightarrow X_{n}$ є відображенням склеювання у CW-комплексі $X$, де $X_{n}$ позначає $n$-скелет, то конус $Cf$ є гомеоморфним $(n+1)$-скелету $X_{n+1}$.
• Для топологічного простору X і петлі $\alpha \colon S^{1}\to X,$ що представляє елемент фундаментальної групи простору X, можна побудувати конус відображення $C_{\alpha }$. При цьому петлю $\alpha$ можна стягнути у $C_{\alpha }$ і тому клас еквівалентності $\alpha$ у фундаментальній групі простору $C_{\alpha }$ буде одиничним елементом. Для групи заданої породжуючими елементами і їх відношеннями таким чином можна одержати 2-комплекс із цією фундаментальною групою.
• Відображення $f\colon X\rightarrow Y$ між однозв'язними CW-комплексами є гомотопною еквівалентністю тоді і тільки тоді коли його конус відображення є стягуваним. Більш загально, відображення називається n-зв'язним якщо його конус відображення є n-зв'язним простором.

Властивості

• Простір $Y$ є підпростором $C_{f}$, оскільки відображення факторизації $CX\sqcup Y\to C_{f}$ на просторі $Y$ є ін'єктивним.

• Якщо $f$ є ін'єктивним і відносно відкритим, тобто гомеоморфізмом тоді конус $CX$ і відповідно $X$ є підпросторами $C_{f}$.
• Для тотожного відображення $id\colon X\rightarrow X;x\mapsto x$, конус і конус відображення є гомеоморфними: $C_{id}\cong CX$.

Всі вказані властивості є також справедливими для просторів із виділеними точками.

• Якщо $X;Y$ є просторами із виділеними точками і $f\equiv y_{0}$ є константою, то $C_{f}\cong \Sigma X\vee Y$, де $\Sigma X$ позначає редуковану надбудову простору $X$, а $\vee$ є букетом просторів.
• Редукований конус відображення є гомотопно еквівалентним звичайному конусу відображення.

• Нехай $\mathbb {} H_{*}$ є гомологією. Відображення $f\colon X\rightarrow Y$ породжує ізоморфізми на $H_{*}$, якщо і тільки якщо відображення $\{pt\}\hookrightarrow C_{f}$ породжує ізоморфізми на $H_{*}$, тобто $H_{*}(C_{f},pt)=0$.
• За допомогою конуса відображення можна інтерпретувати гомологію пари просторів, як редуковану гомологію фактор-простору. А саме, якщо H є гомологією і $i\colon A\to X$ є кофібрацією, то

  $H_{*}(X,A)=H_{*}(X/A,*)={\tilde {H}}_{*}(X/A)$.

• Якщо відображення $f,g\colon X\rightarrow Y$ є гомотопними, то конуси відображення $C_{f}$ і $C_{g}$ є гомотопно еквівалентними.
• Якщо $A\subseteq X$ є підпростором і $i\colon A\hookrightarrow X$ є кофібрацією, то $C_{i}$ є гомотопно еквівалентним фактор-простору $X/A$ і для просторів із виділеними точками всі гомотопії є із збереженням виділених точок.
• Вкладення $j\colon Y\hookrightarrow C_{f}$ завжди є кофібрацією. Конус цього відображення таким чином є гомотопно еквівалентним простору $C_{f}/Y\cong SX,$ де $SX$ позначає надбудову простору $X$. Для просторів із виділеними точками конус цього відображення є гомотопно еквівалентним редукованій надбудові $\Sigma X.$
• Для просторів із виділеними точками відображення $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ і довільного простору із виділеною точкою $(Z,z_{0})$ послідовність на класах гомотопії:

  $[C_{f},Z]\xrightarrow {j^{*}} [Y,Z]\xrightarrow {f^{*}} [X,Z]$

є точною. У даному випадку це означає, що образ відображення $j^{*},$ що переводить клас гомотопії відображення $g$ із $C_{f}$ у $Z$ (із збереженням виділених точок) у клас гомотопії $g\circ j$ належить прообразу $f^{*},$ тобто $g\circ j\circ f$ є константою, що переводить увесь простір $X$ у виділену точку $z_{0}.$

• Із попередніх властивостей випливає, що відображення $f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ породжує точну послідовність на класах гомотопії для довільного простору із виділеною точкою $(Z,z_{0})$:

  $\dots \rightarrow [\Sigma Y,Z]\rightarrow [\Sigma X,Z]\rightarrow [C_{f},Z]\rightarrow [Y,Z]\rightarrow [X,Z]$

Див. також

• Кофібрація
• Циліндр відображення