Конформно-евклідова модель

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Замощення площини Лобачевського правильними трикутниками.

Конфо́рмно-евклі́дова моде́ль або моде́ль Пуанкаре́ — модель простору Лобачевського. Існують різновиди моделі — в колі (стереографічна проекція) і на півплощині для планіметрії Лобачевського, а також у кулі і в півпросторі — для стереометрії Лобачевського, відповідно.

Конформно-евклідова модель має таку назву тому, що гіперболічні кути дорівнюють відповідним кутам на евклідовій площині між відповідними півдотичними[1]. Для проєктивної моделі, гіперболічні кути дорівнюють евклідовим кутам лише у виключних випадках, наприклад, така рівність є у початку координат проєктивної моделі.

Історія[ред. | ред. код]

Цю модель, як і проективну модель і модель псевдосфери, запропонував Еудженіо Бельтрамі.[2] Метрику в конформно-евклідовій моделі використано також у знаменитій лекції Рімана «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», але зв'язок з геометрією Лобачевського виявив саме Бельтрамі. Згодом Анрі Пуанкаре виявив зв'язки цієї моделі з задачами теорії функцій комплексної змінної, що дало одне з перших серйозних застосувань геометрії Лобачевського.

Моделі в крузі і в кулі[ред. | ред. код]

Конформно-евклідова модель у крузі.

За площину Лобачевського приймається внутрішність круга (див. мал.) в евклідовому просторі; межа даного круга (коло) називається «абсолютом». Роль геодезичних ліній виконують дуги кіл , перпендикулярних до абсолюту, і його діаметри[3]; роль рухів — перетворення, одержувані комбінаціями інверсій відносно кіл, дуги яких служать прямими.

Метрика площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі в одиничному крузі є:

де і  — вісь абсцис і ординат, відповідно[4].

Аналогічно, для конформно-евклідової моделі в кулі роль абсолюту виконує обмежувальна сфера в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевского є внутрішність кулі.

Відстані[ред. | ред. код]

У комплексних координатах на одиничному колі відстані можна обчислити за допомогою такої формули:

Відстань можна виразити через подвійне відношення. Якщо на дузі , точки розташовано в такому порядку: , , , то відстань між точками і , у геометрії Лобачевського дорівнює

.

Моделі на півплощині й у півпросторі[ред. | ред. код]

В моделі Пуанкаре в півплощині за площину Лобачевського приймається верхня півплощина. Пряма, що обмежує півплощину (тобто вісь абсцис), називається «абсолютом». Роль прямих виконують півкола з центрами на абсолюті, що містяться в цій півплощині, і перпендикулярні до абсолюту промені, що починаються на ньому (тобто вертикальні промені). Роль рухів — перетворення, одержувані композицією скінченного числа інверсій із центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні до абсолюту.

Метрика площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі у верхній півплощині має вигляд: [4], де і  — прямокутні координати, відповідно паралельно і перпендикулярно до абсолюту.

Відповідно, в конформно-евклідовій моделі в півпросторі роль абсолюту виконує площина в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевского є півпростір, що лежить на цій площині.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітка[ред. | ред. код]

  1. Попов А. Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики
  2. Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
  3. Загалом можна не виокремлювати діаметри, оскільки, всі вказані об'єкти є узагальненими прямими, які можна відобразити одну на іншу за допомогою руху
  4. а б Буяло С. В. Курс лекций «Асимптотическая геометрия метрических пространств» весна 2004.

Література[ред. | ред. код]