Конфігурація (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Конфігурації (4362) (повний чотирикутник, ліворуч) і (6243) (повний чотирибічник, праворуч)[1]

У проєктивній геометрії конфігурація на площині складається зі скінченної множини точок і скінченної конфігурації прямих, таких, що кожна точка інцидентна однаковому числу прямих і кожна пряма інцидентна однаковому числу точок[2].

Хоча деякі специфічні конфігурації вивчалися раніше (наприклад, Томасом Кіркманом[en] 1849 року), формальне вивчення конфігурацій почав уперше Теодор Реє[en] 1876 року в другому виданні його книги Geometrie der Lage (Геометрія положення), в контексті обговорення теореми Дезарга. Ернст Штайніц[ru] написав дисертацію на цю тему 1894 року і конфігурації популяризували 1932 року Гільберт і Кон-Фоссен у книзі Anschauliche Geometrie (Наочна геометрія), перекладеній англійською[3] і російською мовами.

Конфігурації можна вивчати або як конкретні множини точок і прямих у конкретній геометрії, наприклад, на евклідовій або проєктивній площині (в цьому випадку кажуть про реалізацію в цій геометрії), або як абстрактну геометрію інцидентності. В останньому випадку конфігурації тісно пов'язані з регулярними гіперграфами і бірегулярними двочастковими графами, але з додатковим обмеженням — будь-які дві точки структури інцидентності можуть асоціюватися максимум з однією прямою, а будь-які дві прямі можуть асоціюватися максимум з однією точкою. Тобто обхват відповідного двочасткового графу (графу Леві конфігурації) має дорівнювати щонайменше шести.

Позначення[ред. | ред. код]

Конфігурація на площині позначається як (pγ π), де p — число точок,  — число прямих, γ — число прямих, що проходять через кожну точку, а π — число точок на кожній прямій. Для цих чисел має виконуватися співвідношення

,

оскільки цей добуток дорівнює числу інціденцій точка-пряма (прапорів).

Конфігурації з тим самим символом не зобов'язані бути ізоморфними як структури інцидентності. Наприклад, існує три різних конфігурації (93 93) — конфігурація Паппа і дві менш відомі конфігурації.

У деяких конфігураціях p = ℓ, а тому, γ = π. Вони називаються симетричними або збалансованими[4] конфігураціями і зазвичай у позначеннях повторення опускають. Наприклад, (93 93) скорочується до (93).

Приклади[ред. | ред. код]

Конфігурація (103), не ізоморфна за інцидентністю конфігурації Дезарга

Найвідоміші такі проєктивні конфігурації:

Двоїстість конфігурацій[ред. | ред. код]

Проєктивно двоїстою конфігурацією для (pγ lπ) є конфігурація (lπ pγ), в якій ролі «точок» і «прямих» міняються місцями. Тому конфігурації йдуть двоїстими парами, за винятком випадків, коли двоїста конфігурація ізоморфна початковій. Ці винятки називають самодвоїстими конфігураціями і в цих випадках p=l[6].

Число конфігурацій (n3)[ред. | ред. код]

Число неізоморфних конфігурацій типу (n3), починаючи з n=7, є елементом послідовності

1, 1, 3, 10, 31, 229, 2036, 21399, 245342,... послідовність A001403 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Ці числа підраховані як абстрактні структури інцидентності, незалежно від можливості їх реалізації[7]. Як пише Гроппа[8], дев'ять з десяти конфігурацій (103) і всі конфігурації (113) і (123) допускають реалізацію в евклідовому просторі, але для всіх n≥16 є щонайменше одна нереалізовна конфігурація (n3). Гроппа також вказує на давню помилку в цій послідовності — в статті 1895 року зроблено спробу перелічити всі конфігурації (123) і 228 з них знайдено, але 229-а конфігурацію не відкрито аж 1988 року.

Побудова симетричних конфігурацій[ред. | ред. код]

Є кілька методів побудови конфігурацій, зазвичай починаючи зі вже відомих конфігурацій. Деякі найпростіші з цих методів будують симетричні (pγ) конфігурації.

Будь-яка скінченна проєктивна площина порядку n є конфігурацією ((n2+n+1)n+1). Нехай Π — проєктивна площина порядку n. Видалимо з Π точку P і всі прямі Π, що проходять через P (але не точки, що лежать на цих прямих, за винятком точки P) і видалимо пряму l, що не проходить через P, і всі точки, що лежать на цій прямій. Результатом буде конфігурація типу ((n2—1)n). Якщо при побудові виберемо пряму l, що проходить через P, отримаємо конфігурацію типу ((n2)n). Оскільки відомо, що проєктивні площини існують для всіх порядків n, що є степенями простих чисел, ці побудови забезпечують нескінченне сімейство симетричних конфігурацій.

Не всі конфігурації реалізовні, наприклад, конфігурація (437) не існує[9]. Однак Групп[10] дав побудову, яка показує, що для k≥3 конфігурація (pk) існує для всіх p≥2lk+1, де lk — довжина оптимальної лінійки Голомба порядку k.

Високі розмірності[ред. | ред. код]

Концепцію конфігурації можна узагальнити на вищі розмірності, наприклад для точок і прямих чи площин у просторі. У цьому випадку обмеження, що ніякі дві точки не можуть лежати більш ніж на одній прямій, можна послабити, оскільки дві точки можуть належати більш ніж одній площині.

У тривимірному просторі цікавими є

  • Конфігурація Мебіуса, що складається з двох взаємно вписаних тетраедрів.
  • Конфігурація Реє, що складається з дванадцяти точок і дванадцяти площин з шістьма точками на кожній площині і шістьма площинами, що проходять через кожну точку.
  • Конфігурація Грея, що складається з 27 точок решітки 3×3×3 і 27 ортогональних прямих, що проходять через них.
  • Подвійна шістка Шлефлі, що складається з 30 точок і 12 прямих, по дві прямі на точку і по п'ять точок на одній прямій.

Подальше узагальнення виходить у тривимірному просторі при розгляді інцидентності точок, прямих і площин, тобто j-просторів при 0≤j<3, де кожен j-простір інцидентний Njk k-просторам (jk). Якщо позначити через Njj число j-просторів, таку конфігурацію можна подати у вигляді матриці:

Підхід можна узагальнювати для інших розмірностей n, де 0≤j<n. Такі зміни математично пов'язані з правильними многогранниками[11].

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б Англійською — quadrangle і quadrilateral.
  2. У літературі для того ж поняття використовують терміни проєктивна конфігурація (Hilbert, Cohn-Vossen, 1952) і тактична конфігурація типу (1,1) (Dembowski, 1968).
  3. Hilbert, Cohn-Vossen, 1952, с. 94–170.
  4. Grünbaum, 2009.
  5. Kelly, 1986.
  6. Coxeter, 1999, с. 106-149.
  7. Betten, Brinkmann, Pisanski, 2000.
  8. Gropp, 1997.
  9. Ця конфігурація мала б бути проєктивною площиною порядку 6, але такої площини, за теоремою Брука — Райзера[en], не існує.
  10. Gropp, 1990.
  11. Coxeter, 1948.

Література[ред. | ред. код]

  • Leah W. Berman. Movable (n4) configurations // The Electronic Journal of Combinatorics. — Т. 13, вип. 1. — С. R104..
  • A. Betten, G. Brinkmann, T. Pisanski. Counting symmetric configurations // Discrete Applied Mathematics. — 2000. — Т. 99, вип. 1–3 (24 листопада). — С. 331–338. — DOI:10.1016/S0166-218X(99)00143-2..
  • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes[en]. — Methuen and Co, 1948..
  • H.S.M. Coxeter. Self-dual configurations and regular graphs // The Beauty of Geometry. — Dover. — 1999. — ISBN 0-486-40919-8.
  • Peter Dembowski. Finite geometries. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1968. — Т. Band 44. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete) — ISBN 3-540-61786-8.
  • Harald Gropp. On the existence and non-existence of configurations nk // Journal of Combinatorics and Information System Science. — 1990. — Т. 15 (24 листопада). — С. 34–48.
  • Harald Gropp. Configurations and their realization // Discrete Mathematics. — 1997. — Т. 174, вип. 1–3 (24 листопада). — С. 137–151. — DOI:10.1016/S0012-365X(96)00327-5..
  • Branko Grünbaum. The Coxeter Legacy: Reflections and Projections / Chandler Davis, Erich W. Ellers. — American Mathematical Society, 2006. — С. 179–225..
  • Branko Grünbaum. Configurations of Points and Lines. — American Mathematical Society, 2009. — Т. 103. — (Graduate Studies in Mathematics) — ISBN 978-0-8218-4308-6..
  • David Hilbert, Stephan Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. — 2nd. — Chelsea, 1952. — ISBN 0-8284-1087-9..
  • L. M. Kelly. A resolution of the Sylvester–Gallai problem of J. P. Serre // Discrete and Computational Geometry. — 1986. — Т. 1, вип. 1 (24 листопада). — С. 101–104. — DOI:10.1007/BF02187687..
  • Tomaž Pisanski, Brigitte Servatius. Configurations from a Graphical Viewpoint. — Springer, 2013. — ISBN 9780817683641..

Посилання[ред. | ред. код]