Координатний вектор

Координа́тний ве́ктор у лінійній алгебрі — це представлення вектора як упорядкованого списку чисел, що описує вектор з точки зору конкретного впорядкованого базису. Координати завжди задаються відносно впорядкованого базису. Базиси та пов'язані з ними координатні представлення дозволяють задати векторні простори та лінійні перетворення за допомогою вектор-стовпчиків, вектор-рядків та матриць, тому вони корисні для обчислень.

Ідея координатного вектору також може бути використана для нескінченновимірних векторних просторів, як описано нижче.

Визначення

Нехай V — векторний простір розмірності n над полем F і нехай

$B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}$

буде впорядкованим базисом для V. Тоді для кожного $v\in V$ існує єдина лінійна комбінація базових векторів, яка дорівнює v:

$v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

Координатний вектор v відносно B — це послідовність координат

$[v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}).$

Яка також називається поданням або представленням v відносно базису B. Значення $\alpha _{s}$ називаються координатами v. Порядок базису важливий, оскільки визначає порядок, в якому коефіцієнти будуть перераховані в координатному векторі.

Координатні вектори скінченно-вимірних векторних просторів можуть бути представлені матрицями у вигляді векторів-стовпців або рядків. У наведеній нотації можна писати

$[v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}$

або

$[v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}.$

Стандартне представлення

Ми можемо позначити вище наведене перетворення шляхом визначення функції $\phi _{B}$, яка називається стандартним представленням V відносно базису B, вона переводить кожен вектор у його координатне представлення: $\phi _{B}(v)=[v]_{B}$. Тоді $\phi _{B}$ є лінійним перетворенням з V до F ⁿ. Фактично, це ізоморфізм, і тому зворотне перетворення $\phi _{B}^{-1}\colon F^{n}\to V$ є просто

$\phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

Як варіант, ми могли б спочатку визначити $\phi _{B}^{-1}$, оскільки, $\phi _{B}^{-1}$ є ізоморфізмом, а потім визначити $\phi _{B}$, як зворотне перетворення.

Приклади

Приклад 1

Нехай $P_{3}$ — простір усіх алгебраїчних поліномів ступеня не більше 3 (тобто найвищий показник степеня x може бути 3). Цей простір є лінійним, його базисом будуть такі многочлени:

$B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}.$

Відповідно

$1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}$

тоді координатним вектором, що відповідає многочлену

$p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$

буде

${\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.$

Згідно з цим представленням, диференціальний оператор d/dx, який ми позначимо як D, буде представлений наступною матрицею:

$Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

Використовуючи цей метод, легко вивчити властивості оператора: такі як оберненість, ермітовість або антиермітовість, тощо, спектр і власні значення, тощо.

Приклад 2

Матриці Паулі, які представляють оператор спіну при перетворенні власних станів спіну у векторні координати.

Матриця перетворення базисів

Нехай B і C — дві різні базиси векторного простору V, позначимо їх як матрицю $\lbrack M\rbrack _{C}^{B}$, яка має стовпці, що складаються з представлення у базисі C базових векторів b₁, b₂ ,…, b_n:

$\lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}$

Ця матриця називається матрицею перетворення базису B до базису C. Що можна розглядати як автоморфізм над V. Будь-який вектор v, представлений у базисі B, може бути перетворений на представлення у базисі C наступним чином:

$\lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.$

Якщо E є стандартним базисом, то позначення можна спростити, просто опустивши символ E, при цьому перетворення від базису B до E буде таким:

$v=\lbrack M\rbrack ^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.$

Де

${\begin{aligned}v&=\lbrack v\rbrack _{E},\\\lbrack M\rbrack ^{B}&=\lbrack M\rbrack _{E}^{B}.\end{aligned}}$

Щодо перетворення базису зауважте, що верхній індекс матриці перетворення M та ніжній індекс координатного вектора v, є однаковими, і, хоча може виникнути бажання щось спростити, але робити цього не варто. Також це може служити допоміжним засобом для запам'ятовування, важливо зазначити, що ніякого скасування не відбувається.

Наслідок

Нехай матриця M є оберненою матрицею, а M ⁻¹ є базовою матрицею перетворення від C до B. Іншими словами,

${\begin{aligned}&\operatorname {Id} \\[3pt]={}&\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]={}&\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}$

Нескінченновимірні векторні простори

Припустимо, V — нескінченновимірний векторний простір над полем F. Якщо його розмірність дорівнює k, то існує деякий базис з k елементів для V. Після вибору порядку базис можна вважати впорядкованим. Елементи V — це скінченні лінійні комбінації елементів базису, які породжують єдине координатне представлення саме так, як описано вище. Єдина відмінність полягає в тому, що множина індексів для координат не є скінченною. Оскільки даний вектор v є скінченною лінійною комбінацією базових елементів, єдиними ненульовими записами вектора координат для v будуть ненульові коефіцієнти лінійної комбінації, що представляє v. Таким чином, координати вектору v будуть нулями, за винятком скінченної множини координат.

Лінійні перетворення між (можливо) нескінченновимірними векторними просторами можна моделювати аналогічно скінченновимірному випадку з нескінченними матрицями. Окремий випадок перетворень з V у V описаний у повних лінійних кільцях.

Див. також

• Зміна базису