Перейти до вмісту

Координатний вектор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Координа́тний ве́ктор у лінійній алгебрі — це представлення вектора як упорядкованого списку чисел, що описує вектор з точки зору конкретного впорядкованого базису[1]. Координати завжди задаються відносно впорядкованого базису. Базиси та пов'язані з ними координатні представлення дозволяють задати векторні простори та лінійні перетворення за допомогою вектор-стовпчиків, вектор-рядків та матриць, тому вони корисні для обчислень.

Ідея координатного вектору також може бути використана для нескінченновимірних векторних просторів, як описано нижче.

Визначення

[ред. | ред. код]

Нехай V — векторний простір розмірності n над полем F і нехай

буде впорядкованим базисом для V. Тоді для кожного існує єдина лінійна комбінація базових векторів, яка дорівнює v:

Координатний вектор v відносно B — це послідовність координат

Яка також називається поданням або представленням v відносно базису B. Значення називаються координатами v. Порядок базису важливий, оскільки визначає порядок, в якому коефіцієнти будуть перераховані в координатному векторі.

Координатні вектори скінченно-вимірних векторних просторів можуть бути представлені матрицями у вигляді векторів-стовпців або рядків. У наведеній нотації можна писати

або

Стандартне представлення

[ред. | ред. код]

Ми можемо позначити вище наведене перетворення шляхом визначення функції , яка називається стандартним представленням V відносно базису B, вона переводить кожен вектор у його координатне представлення: . Тоді є лінійним перетворенням з V до F n. Фактично, це ізоморфізм, і тому зворотне перетворення є просто

Як варіант, ми могли б спочатку визначити , оскільки, є ізоморфізмом, а потім визначити , як зворотне перетворення.

Приклади

[ред. | ред. код]

Приклад 1

[ред. | ред. код]

Нехай  — простір усіх алгебраїчних поліномів ступеня не більше 3 (тобто найвищий показник степеня x може бути 3). Цей простір є лінійним, його базисом будуть такі многочлени:

Відповідно

тоді координатним вектором, що відповідає многочлену

буде

Згідно з цим представленням, диференціальний оператор d/dx, який ми позначимо як D, буде представлений наступною матрицею:

Використовуючи цей метод, легко вивчити властивості оператора: такі як оберненість, ермітовість або антиермітовість, тощо, спектр і власні значення, тощо.

Приклад 2

[ред. | ред. код]

Матриці Паулі, які представляють оператор спіну при перетворенні власних станів спіну у векторні координати.

Матриця перетворення базисів

[ред. | ред. код]

Нехай B і C — дві різні базиси векторного простору V, позначимо їх як матрицю , яка має стовпці, що складаються з представлення у базисі C базових векторів b1, b2 ,…, bn:

Ця матриця називається матрицею перетворення базису B до базису C. Що можна розглядати як автоморфізм над V. Будь-який вектор v, представлений у базисі B, може бути перетворений на представлення у базисі C наступним чином:

Якщо E є стандартним базисом, то позначення можна спростити, просто опустивши символ E, при цьому перетворення від базису B до E буде таким:

Де

Щодо перетворення базису зауважте, що верхній індекс матриці перетворення M та ніжній індекс координатного вектора v, є однаковими, і, хоча може виникнути бажання щось спростити, але робити цього не варто. Також це може служити допоміжним засобом для запам'ятовування, важливо зазначити, що ніякого скасування не відбувається.

Наслідок

[ред. | ред. код]

Нехай матриця M є оберненою матрицею, а M −1 є базовою матрицею перетворення від C до B. Іншими словами,

Нескінченновимірні векторні простори

[ред. | ред. код]

Припустимо, V — нескінченновимірний векторний простір над полем F. Якщо його розмірність дорівнює k, то існує деякий базис з k елементів для V. Після вибору порядку базис можна вважати впорядкованим. Елементи V — це скінченні лінійні комбінації елементів базису, які породжують єдине координатне представлення саме так, як описано вище. Єдина відмінність полягає в тому, що множина індексів для координат не є скінченною. Оскільки даний вектор v є скінченною лінійною комбінацією базових елементів, єдиними ненульовими записами вектора координат для v будуть ненульові коефіцієнти лінійної комбінації, що представляє v. Таким чином, координати вектору v будуть нулями, за винятком скінченної множини координат.

Лінійні перетворення між (можливо) нескінченновимірними векторними просторами можна моделювати аналогічно скінченновимірному випадку з нескінченними матрицями. Окремий випадок перетворень з V у V описаний у повних лінійних кільцях[en].

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Howard Anton; Chris Rorres (12 квітня 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1. Архів оригіналу за 5 серпня 2020. Процитовано 30 квітня 2020.