Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Графік функції Si(x ) для 0 ≤ x ≤ 8 π .
Інтегра́льний си́нус — спеціальна функція , що визначається як інтеграл [1] :
Si
x
=
∫
0
x
sin
t
t
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {Si} \,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.}
Іноді також користуються позначенням
si
x
:
{\displaystyle \operatorname {si} \,x:}
si
x
=
−
∫
x
∞
sin
t
t
d
t
=
Si
x
−
π
2
.
{\displaystyle \operatorname {si} \,x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\operatorname {Si} \,x-{\frac {\pi }{2}}.}
Інтегральний синус може бути визначені через інтегральну показникову функцію по аналогії з синусом [2] :
si
x
=
1
2
i
(
Ei
(
i
x
)
−
Ei
(
−
i
x
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {si} \,x={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Ei} \,(ix)-\operatorname {Ei} \,(-ix)\right).}
Інтегральний синус було введено Лоренцо Маскероні [ru] в 1790 році.
Si
(
−
x
)
=
−
Si
x
.
{\displaystyle \operatorname {Si} \,(-x)=-\,\operatorname {Si} \,x.}
lim
x
→
+
∞
Si
x
=
π
2
,
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {Si} \,x={\frac {\pi }{2}},}
lim
x
→
+
∞
si
x
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {si} \,x=0,}
lim
x
→
−
∞
Si
x
=
−
π
2
,
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {Si} \,x=-{\frac {\pi }{2}},}
lim
x
→
−
∞
si
x
=
−
π
.
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {si} \,x=-\pi .}
Інтегральний синус має локальні екстремуми в точках
x
=
±
π
,
±
2
π
,
±
3
π
,
⋯
{\displaystyle x=\pm \pi ,\,\pm 2\pi ,\,\pm 3\pi ,\,\cdots \,}
Si
x
=
x
−
x
3
3
⋅
3
!
+
x
5
5
⋅
5
!
−
x
7
7
⋅
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
.
{\displaystyle \operatorname {Si} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!(2n+1)}}x^{2n+1}.}
Цей ряд використовується для практичного обчислення інтегрального синуса, причому у відповідності до теоремою Лейбніца похибка буде менша, ніж модуль останнього взятого члена цього ряду.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1968. — С. 625.(рос.)
↑ Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2 // М.: Наука, 1974. — С. 149.(рос.)
Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — М. : Мир, 1985. — Т. 2. — С. 606.