Користувач:Knu mechmat/Теорема Тьопліца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теоре́ма Тьо́пліца — одна із важливих теорем математичного аналізу, названа на честь відомого математика Отто Тьопліца.

Формулювання теореми[ред. | ред. код]

Шаблон:Plain theorem Нехай числа {cnk | 1 ≤ kn, n ≥ 1} ⊂ R задовольняють умови:

  1. kN: cnk → 0, n → ∞;
  2. C > 0 ∀ n ≥ 1:

Тоді для будь-якої збіжної послідовності чисел {an | n ≥ 1} послідовність

також збігається і

Шаблон:Remark Умови 1-3 теореми Тьопліца необхідні і достатні.

{{knu mechmat}} → Нехай ana, n → ∞, спробуємо довести, що

Перевіримо виконання умов теореми Тьопліца:

звідси випливає, що

отже, cnk = 1/n. Візьмемо першу властивість. Доведемо, що cnk → 0, n → ∞, тобто

ε > 0|1/n-0| = 1/n < εn > 1/ε. Тому ∀ ε > 0 ∃ N := [1/ε] +1 ∈ R і ∀ nN : |1/n - 0| < ε. Отже, за означенням

Перевіримо другу властивість. Тут маємо

Отже, n → ∞, звідси випливає, що ∀ n

Подивимось, чи виконується третя властивість теореми.

Отже,

тобто C = 1. Як бачимо, виконуються всі умови теореми Тьопліца і

Доведення[ред. | ред. код]

Для послідовності {an = a| n ≥ 1}, aR, маємо

за умови 2. Тому достатньо розглянути випадок, коли an → 0, n → ∞. Наступна нерівність (позначимо її (∗))

справедлива для кожного m, 1 < mn. Нехай тепер ε > 0 задано. За означенням границі послідовності, ∃ N1NnN1  : |an| < ε/2C, крім того, ми знаємо, що збіжна послідовність обмежена. ∃ D > 0 ∀ n ≥ 1  : |an| ≤ D. Нехай далі в нерівності (∗) nN1 і m = N1. За умовою 1 даної теореми ∀ k, 1 ≤ kN1 - 1: cnk → 0, n → ∞, дане твердження рівносильне |cnk| → 0, n → ∞, звідси випливає

Отже, ∃ N2NnN2:

Тоді для номерів

із нерівності (∗) враховуючи три останні нерівності і умову 3 даної теореми отримаємо

Історія[ред. | ред. код]

Отто Тьопліц (1881-1940) — німецький математик, велику частину робіт посвятив функціональному аналізу. Зробив важливі відкриття у математиці, написав певну кількість корисних теорем, зокрема теорему про регулярне перетворення послідовності.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Дороговцев А. Я. Математический анализ. — К. : Факт, 2004. — 560с.