Користувач:NAME XXX/Теорія поля

Проблеми теорії поля

Електромагнітна маса

Електромагнітна маса.  

Описання власне проблеми

Імпульс електромагнітного поля можна обчислити за формулою

$\ \mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {P} dV={\frac {1}{4\pi c}}\int [\mathbf {E} \times \mathbf {B} ]d^{3}\mathbf {r} \qquad (.1)$,

тобто, сумарний імпульс поля можна обчислити за допомогою вектора Пойнтінга. Дійсно, вектор Пойнтінга, поділений на $\ c^{2}$, за змістом є густиною імпульса. Тоді інтеграл від цієї величини по об'єму локалізації поля (тобто, на нескінченності) дає сумарний імпульс поля (див. розділ "Закони збереження" статті "Електродинаміка"). Із виразу $\ (.1)$ очевидно, що поле вважається самоузгодженим.

Нехай розглядається точковий заряд, що рухається у вакуумі. Тоді можна вважати, що він рухається рівномірно, а для напруженості та індукції полів записати вираз

$\ \mathbf {E} ={\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{\left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}+a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$,

де введено інваріантний (відносно перетворень Лоренца) параметр регуляризації, що усуває проблему сингулярності при диференціальних та інтегральних операціях із векторами поля. Тоді $\ (.1)$ запишеться як

$\ \mathbf {p} ={\frac {1}{4\pi c^{2}}}\int [\mathbf {E} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]]dV=-{\frac {Q^{2}\gamma ^{2}}{4\pi c^{2}}}\int \left({\frac {\mathbf {u} r^{2}-\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )}{\left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}+a^{2}\right)^{3}}}\right)d^{3}\mathbf {r}$.

Тоді інтеграл буде рівен

$\ \mathbf {p} ={\frac {Q^{2}\gamma \pi \mathbf {u} }{8ac^{2}}}\qquad (.2)$.

Виведення.  

Бачачи, що у чисельнику та у знаменнику фігурує вираз $\ (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )$, можна обрати систему координат таким чином, щоб вектор відносної швидкості ІСВ мав лише одну компоненту - наприклад $\ \mathbf {u} =(0;0;u)$. Тоді буде отримано вираз

$\ {\frac {Q^{2}\gamma ^{2}}{4\pi c^{2}}}\int \left({\frac {\mathbf {u} r^{2}-\mathbf {r} uz}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}u^{2}z^{2}+a^{2}\right)^{3}}}\right)dV$.

Провівши заміну

$\ z={\frac {z'}{\gamma }}\Rightarrow z^{2}\left(1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{2}\right)=z^{2}\gamma ^{2}=z'^{2},\quad dz={\frac {dz'}{\gamma }}\Rightarrow d^{3}\mathbf {r} ={\frac {d^{3}\mathbf {r} '}{\gamma }}$,

а після цього - перепозначивши $z'->z,r'->r$,

інтеграл можна буде звести до вигляду

$\ {\frac {Q^{2}\gamma }{4\pi c^{2}}}\int \left({\frac {\mathbf {u} r^{2}-\mathbf {r} u{\frac {z}{\gamma }}}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{3}}}\right)d^{3}\mathbf {r}$.

Компоненти $\ x,y$ імпульса будуть рівні нулю. Дійсно, переходячи до сферичної системи координат та розглядаючи одну з двох компонент (для іншої викладки повністю аналогічні), наприклад, $\ p_{x}$, можна буде отримати

$\ {\frac {Q^{2}\gamma }{4\pi c^{2}}}\int \int \int {\frac {rsin(\theta )cos(\varphi )u{\frac {rcos(\theta )}{\gamma }}}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{3}}}r^{2}sin(\theta )d\theta d\varphi dr=-{\frac {Q^{2}\gamma }{4\pi c^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {r^{4}}{(r^{2}+a^{2})^{3}}}dr\int \limits _{0}^{2\pi }cos(\varphi )d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }cos(\theta )sin^{2}(\theta )d\theta =0$,

де рівність нулю забезпечується інтегралом по періоду полярного кута.

Для компоненти $\ p_{z}$ можна записати

$\ p_{z}={\frac {Q^{2}\gamma u}{4\pi c^{2}}}\int \int \int {\frac {x^{2}+y^{2}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}}{(r^{2}+a^{2})^{3}}}dV={\frac {Q^{2}\gamma u}{4\pi c^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {r^{4}dr}{(r^{2}+a^{2})^{3}}}\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }sin^{3}(\theta )d\theta ={\frac {Q^{2}\gamma u}{4\pi c^{2}}}2\pi {\frac {4}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {r^{4}dr}{(r^{2}+a^{2})^{3}}}=$

$\ ={\frac {2Q^{2}\gamma u}{3c^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {r^{4}dr}{(r^{2}+a^{2})^{3}}}\qquad (.3)$.

Інтеграл $\ (.3)$ можна буде взяти методом диференціювання по параметру. Дійсно, бачачи, що

$\ {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}{\frac {1}{\alpha r^{2}+1}}={\frac {r^{4}}{(\alpha r^{2}+1)^{3}}}$,

можна отримати

$\ p_{z}={\frac {2Q^{2}\gamma u}{3c}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {r^{4}dr}{(r^{2}+a^{2})^{3}}}={\frac {2Q^{2}\gamma u}{3c^{2}}}{\frac {1}{a^{6}}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {r^{4}dr}{\left(\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}+1\right)^{3}}}={\frac {2Q^{2}\gamma u}{3c^{2}}}{\frac {1}{a^{6}}}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \left({\frac {1}{a^{2}}}\right)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {dr}{\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}+1}}=$

$\ ={\frac {Q^{2}\gamma u}{3c^{2}}}{\frac {1}{a^{6}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \left({\frac {1}{a^{2}}}\right)^{2}}}\left({\frac {\pi a}{2}}\right)={\frac {Q^{2}\gamma u\pi }{3c}}{\frac {1}{a^{6}}}{\frac {3\pi a^{5}}{8}}={\frac {\gamma Q^{2}u\pi }{8ac^{2}}}$.

Тоді, відповідно,

$\ \mathbf {p} ={\frac {Q^{2}\gamma \pi \mathbf {u} }{8ac^{2}}}$.

Порівнюючи із релятивістським виразом для імпульсу,

$\ \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {u}$,

можна формально (!) позначити $\ {\frac {Q^{2}\pi }{8ac^{2}}}$ як деяку ефективну масу $\ \mu$, що називається електромагнітною.

Відповідний інтеграл можна взяти і для виразу густини енергії.

$\ E_{el}=\mu \gamma c^{2}{\frac {\left(3+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)}{4}}\qquad (.4)$.

Виведення.  

Направляючи вісь $Oz$ по вектору швидкості, використовуючи тотожність

$\ ([\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]\cdot [\mathbf {c} \times \mathbf {d} ])={\begin{pmatrix}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\\(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )&(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )\end{pmatrix}}$

та проводячи заміну $\ \gamma z=z',z'->z$, із виразу для енергії заряду, що створює поле, можна отримати

$\ E_{el}={\frac {1}{8\pi }}\int (E^{2}+B^{2})dV={\frac {\gamma ^{2}Q^{2}}{8\pi }}\int {\frac {(r^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]^{2})dV}{\left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}+a^{2}\right)^{3}}}={\frac {\gamma ^{2}Q^{2}}{8\pi }}\int {\frac {\left(r^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}u^{2}r^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}\right)dV}{\left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}+a^{2}\right)^{3}}}=$

$\ ={\frac {\gamma ^{2}Q^{2}}{8\pi }}\int {\frac {\left(r^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}u^{2}r^{2}-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}z^{2}\right)dV}{\left(x^{2}+y^{2}+\gamma ^{2}z^{2}+a^{2}\right)^{3}}}=|\gamma z=z',z'->z|={\frac {\gamma Q^{2}}{8\pi }}\int {\frac {\left(\left(1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)(x^{2}+y^{2})+z^{2}\right)dV}{\left(r^{2}+a^{2}\right)^{3}}}=$

$\ ={\frac {\gamma Q^{2}}{8\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {r^{4}dr}{(r^{2}+a^{2})^{3}}}\left[\left(1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\int \limits _{0}^{\pi }sin^{3}(\theta )d\theta \int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi +\int \limits _{0}^{\pi }cos^{2}(\theta )sin(\theta )d\theta \int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \right]={\frac {Q^{2}\gamma }{8\pi }}{\frac {3\pi }{16a}}2\pi \left[{\frac {4}{3}}\left(1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {2}{3}}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right]=$

$\ ={\frac {Q^{2}\gamma \pi }{32a}}\left({\frac {u^{2}}{c^{2}}}+3\right)=\mu \gamma c^{2}{\frac {\left(3+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)}{4}}$.

Як видно, не можна ввести єдину електромагнітну масу для енергії та імпульса. Ця проблема дістала назву проблеми електромагнітної маси.

Поясненням некорректного результату є теорема Пойнтінга. Дійсно, згідно з нею,

$\ {\frac {\partial W}{\partial t}}+(\mathbf {E} \cdot \mathbf {j} )+\nabla \mathbf {P} =0$.

Другий доданок (після процедури інтегрування по об'єму локалізації поля) відповідає похідній по часу від кінетичної енергії частинок у полі. За наявності частинок енергія та імпульс поля (які були отримані вище) самі по собі не є компонентами 4-вектора. Процедура ж, що була проведена вище, нехтує цим другим доданком.

Отже, для поглиблення розуміння фізичного змісту електромагнітної маси та усунення однойменної проблеми треба ввести сумарну енергію та імпульс поля та частинок, що буде зроблено далі.

Описання розв'язку проблеми

Для подальших міркувань треба здійснити деякі перетворення.

1. $\ A^{\alpha }={\frac {Qu^{\alpha }}{c{\sqrt {a^{2}-\eta ^{2}}}}},\quad F_{\alpha \beta }=Q{\frac {\eta _{\alpha }v_{\beta }-\eta _{\beta }v_{\alpha }}{(a^{2}-\eta ^{2})^{\frac {3}{2}}}}\qquad (.5)$,

де

$\ \eta _{\alpha }=x_{\alpha }-(x^{\beta }v_{\beta }){\frac {v_{\alpha }}{c^{2}}}$.

Властивості введеного вектора.  

$\ \eta ^{\alpha }v_{\alpha }=(r^{\alpha }v_{\alpha })-(r^{\beta }v_{\beta }){\frac {1}{c^{2}}}u^{\alpha }u_{\alpha }=|u^{\alpha }u_{\alpha }=c^{2}|=0$.

$\ \eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }=r^{\alpha }r_{\alpha }-2{\frac {1}{c^{2}}}(r^{\beta }v_{\beta })^{2}+{\frac {1}{c^{4}}}c^{2}(r^{\beta }v_{\beta })^{2}=r^{\alpha }r_{\alpha }-{\frac {1}{c^{2}}}(r^{\beta }v_{\beta })^{2}$.

$\ \partial _{\alpha }\eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }=\partial _{\alpha }(x^{\alpha }x_{\alpha }-{\frac {1}{c^{2}}}(x^{\alpha }v_{\alpha })^{2})=2x^{\alpha }-2u^{\alpha }(x^{\alpha }u_{\alpha })=2\eta ^{\alpha }$.

$\ \partial _{\beta }\eta ^{\alpha }=\partial _{\beta }x^{\alpha }-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{\beta }(x_{\gamma }u^{\gamma })u^{\alpha }=\delta _{\beta }^{\alpha }-{\frac {u_{\beta }u^{\alpha }}{c^{2}}}$.

$\ \partial _{\alpha }\eta ^{\alpha }=\partial _{\alpha }x^{\alpha }-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{\alpha }(x_{\gamma }u^{\gamma })u^{\alpha }=4-{\frac {u_{\alpha }u^{\alpha }}{c^{2}}}=3$.

Виведення.  

Даний вектор придуманий для спрощення виразів компонент 4-потенціалу. Дійсно, вираз для 4-потенціалу має вигляд

$\ A^{\alpha }={\frac {Q\left(\gamma ;\gamma {\frac {\mathbf {u} }{c}}\right)}{\sqrt {(\mathbf {r} -\mathbf {u} t)^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}((\mathbf {r} -\mathbf {u} t)\cdot \mathbf {u} )^{2}+a^{2}}}}$,

і проводити будь-які перетворення та обчислення (наприклад, знаходячи явний вигляд для тензору напруженості або записуючи вираз у явному вигляді для тензору енергії-імпульсу) - дуже громіздко.

Використовуючи введений 4-вектор та перші дві його властивості,

$\ \eta ^{\alpha }v_{\alpha }=0,\quad \eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }=r^{\alpha }r_{\alpha }-{\frac {1}{c^{2}}}(r^{\beta }v_{\beta })^{2}$,

а після цього з їх використанням переписати частину виразу знаменника під знаком радикалу як

$\ (\mathbf {r} -\mathbf {u} t)^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}((\mathbf {r} -\mathbf {u} t)\cdot \mathbf {u} )^{2}=r^{2}-2(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )t+u^{2}t^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}-2{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )u^{2}t+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}u^{4}t^{2}=\left(1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{2}\right)\left(t^{2}u^{2}-2(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )t\right)+r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}=$

$\ =\gamma ^{2}t^{2}u^{2}-2{\frac {\gamma }{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )t+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}+r^{2}=\gamma ^{2}t^{2}u^{2}+t^{2}c^{2}-t^{2}c^{2}-2\gamma (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )t+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}+r^{2}={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(c^{4}t^{2}-2c^{2}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )t+(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right)-(c^{2}t^{2}-r^{2})=$

$\ ={\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left(c^{2}t-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )\right)^{2}-(c^{2}t^{2}-r^{2})=\left|(c^{2}t^{2}-r^{2})=r^{\alpha }r_{\alpha },\gamma ^{2}\left(c^{2}t-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )\right)^{2}=(r^{\alpha }v_{\alpha })^{2}\right|=-\eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }$,

для потенціалу можна отримати

$\ A^{\alpha }={\frac {Q\left(\gamma ;\gamma {\frac {\mathbf {u} }{c}}\right)}{\sqrt {a^{2}-\eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }}}}={\frac {Qu^{\alpha }}{c{\sqrt {a^{2}-\eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }}}}}$.

Аналогічно, можна переписати тензор напруженості поля через введений вектор.

З урахуванням того, що

$\ \partial _{\alpha }\eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }=2\eta ^{\alpha }$,

дуже просто знайти, що

$\ \partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }=\partial _{\alpha }{\frac {Qu_{\beta }}{c{\sqrt {a^{2}-\eta ^{\alpha }\eta _{\alpha }}}}}-\partial _{\beta }{\frac {Qu_{\alpha }}{c{\sqrt {a^{2}-\eta ^{\beta }\eta _{\beta }}}}}=Q{\frac {\eta _{\alpha }v_{\beta }-\eta _{\beta }v_{\alpha }}{c(a^{2}-\eta ^{\delta }\eta _{\delta })^{\frac {3}{2}}}}$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

2. Тензор енергії-імпульса електромагнітного поля може бути записаний як

$\ T^{\alpha \beta }={\frac {Q^{2}}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{\delta }\eta _{\delta })^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\eta ^{\mu }\eta _{\mu }c^{2}-\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }c^{2}-u^{\alpha }u^{\beta }\eta ^{\gamma }\eta _{\gamma }\right)$.

Виведення.  

Маючи визначення тензора енергії-імпульсу електромагнітного поля,

$\ T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(F^{\alpha \gamma }F_{\gamma }^{\quad \beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)={\frac {1}{4\pi }}\left(-F^{\alpha \gamma }F_{\quad \gamma }^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)$

(знак мінус перед одним з доданків з'являється через перестановку індексів антисиметричного тензора напряженості), та вирази для тензора напруженості $\ F^{\varepsilon \varphi }=Q{\frac {\eta _{\varepsilon }v_{\varphi }-\eta _{\varphi }v_{\varepsilon }}{c(a^{2}-\eta ^{\delta }\eta _{\delta })^{\frac {3}{2}}}}$,

вираз для тензора можна переписати як

$\ T^{\alpha \beta }={\frac {Q^{2}}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{\delta }\eta _{\delta })^{3}}}\left[(\eta ^{\alpha }u^{\gamma }-\eta ^{\gamma }u^{\alpha })(\eta ^{\beta }u_{\gamma }-\eta _{\gamma }u^{\beta })+{\frac {1}{4\pi }}(\eta ^{\mu }u^{\nu }-\eta ^{\nu }u^{\mu })(\eta _{\mu }u_{\nu }-\eta _{\nu }u_{\mu })\right]=|\eta ^{i}u_{i}=0|=$

$\ ={\frac {Q^{2}}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{\delta }\eta _{\delta })^{3}}}\left[{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }(\eta ^{\mu }\eta _{\mu }u^{\nu }u_{nu})-\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }u^{\gamma }u_{\gamma }-\eta ^{\gamma }\eta _{\gamma }u^{\alpha }u^{\beta }\right]={\frac {Q^{2}}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{\delta }\eta _{\delta })^{3}}}\left[{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\eta ^{\mu }\eta _{\mu }c^{2}-\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }c^{2}-\eta ^{\gamma }\eta _{\gamma }u^{\alpha }u^{\beta }\right]$.

Звичайно ж, у присутності частинок він не зберігається сам по собі:

$\ \partial _{\alpha }T^{\alpha \beta }=-{\frac {3\eta ^{\beta }Q^{2}a^{2}}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{2})^{4}}}$,

або ж

$\ \partial _{\alpha }T^{\alpha \beta }={\frac {\eta ^{\beta }}{4\pi }}\left(\eta ^{2}f'_{0}-3f_{0}\right),\quad f_{0}={\frac {Q^{2}}{c^{2}(a^{2}-\eta ^{\delta }\eta _{\delta })^{3}}}\qquad (.6)$.

Доведення.  

$\ \partial _{\alpha }T^{\alpha \beta }={\frac {Q^{2}}{4\pi c^{2}}}\partial _{\alpha }\left({\frac {1}{(a^{2}-\eta ^{2})^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\eta ^{\mu }\eta _{\mu }c^{2}-\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }c^{2}-u^{\alpha }u^{\beta }\eta ^{\gamma }\eta _{\gamma }\right)\right)=\left|\partial _{\alpha }\eta ^{2}=2\eta _{\alpha },\quad \partial _{\alpha }\eta ^{\alpha }=3,\quad \partial _{\alpha }\eta ^{\beta }=\delta _{\alpha }^{\beta }-{\frac {v_{\alpha }u^{\beta }}{c^{2}}}\right|=$

$\ ={\frac {Q^{2}}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{2})^{3}}}\left[g^{\alpha \beta }c^{2}\eta _{\alpha }-3\eta ^{\beta }c^{2}-c^{2}\eta ^{\alpha }\left(\delta _{\alpha }^{\beta }-{\frac {u^{\beta }u_{\alpha }}{c^{2}}}\right)-2u^{\alpha }u^{\beta }\eta _{\alpha }+{\frac {3\eta _{\alpha }}{a^{2}-\eta ^{2}}}\left(g^{\alpha \beta }\eta ^{2}c^{2}-2\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }c^{2}-2u^{\alpha }u^{\beta }\eta ^{2}\right)\right]=|\eta _{\alpha }u^{\alpha }=0|=$

$\ {\frac {Q^{2}\eta ^{\beta }}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{2})^{4}}}\left[-3a^{2}c^{2}+3c^{2}\eta ^{2}+3c^{2}\eta ^{2}-6c^{2}\eta ^{2}\right]=-{\frac {3\eta ^{\beta }Q^{2}a^{2}}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{2})^{4}}}$.

Щодо другої рівності, вона доводиться значно простіше:

$\ \partial _{\alpha }T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left[-2f'_{0}\eta _{\alpha }\left({\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\eta ^{2}c^{2}-\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }c^{2}-u^{\alpha }u^{\beta }\eta ^{2}\right)+f_{0}(-3\eta ^{\beta })\right]={\frac {\eta ^{\beta }(\eta ^{2}f'_{0}-3f_{0})}{4\pi }}$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Зберігається сума тензорів поля та частинок. Для знаходження явного вигляду тензора енергії-імпульсу частинок треба утворити можливі симетричні комбінації із $\ \eta ^{\alpha },u^{\alpha }g^{\alpha \beta }$ такі, що похідна від тензора була пропорційна $\ \eta ^{\nu }$, і накласти умову

$\ \partial _{\alpha }(T^{\alpha \beta }+\mathrm {T} ^{\alpha \beta })=0$.

Наприклад, найбільш загальним виглядом такого тензору для частинок буде тензор

$\ \mathrm {T} ^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\eta ^{2}f_{1}+\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }f_{2}+u^{\alpha }u^{\beta }\eta ^{2}f_{3}\right),\quad f_{i}=f_{i}(a^{2}-\eta ^{2})$.

Дивергенція від нього рівна

$\ \partial _{\alpha }\mathrm {T} ^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{4\pi }}\left[g^{\alpha \beta }\eta ^{\beta }f_{1}-f'_{1}\eta _{\alpha }g^{\alpha \beta }\eta ^{3}+3\eta ^{\beta }f_{2}+\delta _{\alpha }^{\beta }\eta ^{\alpha }f_{2}-2\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }\eta _{\alpha }f'_{2}+2u^{\alpha }u^{\beta }\eta _{\alpha }f_{3}-2u^{\alpha }u^{\beta }\eta _{\alpha }f'_{3}\right]=$

$\ ={\frac {\eta ^{\beta }}{4\pi }}(f'_{1}\eta ^{2}-f_{1}-4f_{2}+2\eta ^{2}f'_{2})\quad (.7)$.

У сумі $\ (.7),(.6)$ повинні давати нуль. Тому

$\ -f'_{1}\eta ^{2}+f_{1}+4f_{2}-2\eta ^{2}f'_{2}=\eta ^{2}f'_{0}-3f_{0}$.

Даний вираз є умовою на функції $\ f_{i}$. Із нього можна отримати ще один зв'язок. Повноживши вираз на $\ \eta ^{2}$ та проінтегрувавши по всьому простору його, можна отримати:

$\ 3\int \limits _{0}^{\infty }f_{1}r^{4}dr+2\int \limits _{0}^{\infty }f_{2}r^{4}dr=\int \limits _{0}^{\infty }f_{0}r^{4}dr\qquad (.8)$.

Допоміжні інтеграли.  

$\ \int f(a^{2}-\eta ^{2})d^{3}\mathbf {r} =\left|\eta ^{2}=-\mathbf {r} ^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2},\quad \mathbf {u} ||Oz\right|=\int f\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {\gamma ^{2}u^{2}}{c^{2}}}z^{2}\right)d^{3}\mathbf {r} =|z'=\gamma z,d^{3}\mathbf {r} '=d^{3}\mathbf {r} \gamma ,\mathbf {r} '->\mathbf {r} |=$

$\ ={\frac {1}{\gamma }}\int f(a^{2}+r^{2})d^{3}\mathbf {r} ={\frac {4\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f(a^{2}+r^{2})r^{2}dr$.

$\ \int (\eta ^{0})^{2}f(a^{2}-\eta ^{2})d^{3}\mathbf {r} =\left|\mathbf {u} ||Oz,\eta _{0}=ct-{\frac {c(c^{2}t-\gamma ^{2}vz)}{c^{2}}}=\gamma ^{2}{\frac {vz}{c}}\right|={\frac {u^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{4}\int z^{2}f\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {\gamma ^{2}u^{2}}{c^{2}}}z^{2}\right)d^{3}\mathbf {r} =\left|z->{\frac {z}{\gamma }}\right|=$

$\ ={\frac {u^{2}\gamma ^{4}}{c^{2}\gamma ^{3}}}\int z^{2}f(a^{2}+r^{2})d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {u^{2}}{c^{2}\gamma ^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }r^{4}f(a^{2}+r^{2})dr\int \limits _{0}^{\pi }cos^{2}(\theta )d(cos(\theta ))\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi ={\frac {4\pi u^{2}\gamma }{3c^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }f(a^{2}+r^{2})r^{4}dr$,

де множник $\ \gamma ^{2}$ з'являється при нульовій компоненті 4-вектора $\ \eta ^{0}$ через визначення 4-вектора швидкості.

$\ \int \eta ^{0}{\vec {\eta }}f(a^{2}-\eta ^{2})d^{3}\mathbf {r} =\left|{\vec {\eta }}=\mathbf {r} +\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right|={\frac {\gamma ^{2}u}{c}}\int z\left(\mathbf {r} +\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}\mathbf {u} \right)f\left(a^{2}+r^{2}+z^{2}\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)d^{3}\mathbf {r} =\left|z->{\frac {z}{\gamma }},\mathbf {u} ||Oz\right|=$

$\ ={\frac {\mathbf {k} u\gamma ^{2}}{c\gamma ^{3}}}\int z^{2}\left(1+{\frac {\gamma ^{2}u^{2}}{c^{2}}}\right)f(a^{2}+r^{2})d^{3}\mathbf {r} =\gamma {\frac {\mathbf {u} }{c}}\int z^{2}f(a^{2}+r^{2})d^{3}\mathbf {r} ={\frac {4\pi \gamma \mathbf {u} }{3c}}\int \limits _{0}^{\infty }f(a^{2}+r^{2})dr$,

де вираз для 4-вектора $\ \eta ^{\alpha }$ був записаний для моменту часу $\ t=0$ (таким чином, отримано 3-вектор).$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Доведення.  

Після множення та інтегрування отримано вираз

$\ -\int f'_{1}(a^{2}-\eta ^{2})\eta ^{4}d^{3}\mathbf {r} +\int f_{1}\eta ^{2}d^{3}\mathbf {r} +4\int f_{2}\eta ^{2}d^{3}\mathbf {r} -2\int f'_{2}\eta ^{4}d^{3}\mathbf {r} =\int f'_{0}\eta ^{2}d^{3}\mathbf {r} -3\int f_{0}d^{3}\mathbf {r}$.

Використовуючи міркування, що застосовані у зносці "Допоміжні інтеграли",

$\ \mathbf {u} ||Oz,\quad \eta ^{2}=-r^{2},\quad d^{3}\mathbf {r} ->{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{\gamma }}$,

із цього отримуючи вирази

$\ \int f_{i}(a^{2}-\eta ^{2})\eta ^{2}d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {1}{\gamma }}\int f(a^{2}+r^{2})r^{2}d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {4\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }r^{4}f_{i}(a^{2}+r^{2})dr$,

$\ \int f'_{i}(a^{2}-\eta ^{2})\eta ^{4}d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {4\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f'_{i}(a^{2}+r^{2})r^{6}dr$,

а після цього - інтегруючи по частинам всі вирази із похідними $\ f'_{i}$,

$\ -{\frac {4\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f'_{i}(a^{2}+r^{2})r^{6}dr=-{\frac {2\pi r^{5}f_{i}}{\gamma }}{\bigg |}_{0}^{\infty }+{\frac {10\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{i}r^{4}dr$,

(перший доданок рівен нулю, оскільки $\ r^{5}f_{i}\approx {\frac {1}{r}}$ на нескінченності), можна, накінець, отримати:

$\ {\frac {10\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{1}r^{4}dr-{\frac {4\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{1}r^{4}dr-{\frac {16\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{2}r^{4}dr+{\frac {20\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{2}r^{4}dr=-{\frac {10\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{0}r^{4}dr+{\frac {12\pi }{\gamma }}\int \limits _{0}^{\infty }f_{1}r^{4}dr\Rightarrow$

$\ \Rightarrow 3\int \limits _{0}^{\infty }f_{1}r^{4}dr+2\int \limits _{0}^{\infty }f_{2}r^{4}dr=\int \limits _{0}^{\infty }f_{0}r^{4}dr$.

Виходячи із виразу $\ (.3)$, можна припустити, що інтеграли $\ (.8)$ являють собою деякі маси:

$\ \int \limits _{0}^{\infty }f_{i}(a^{2}+r^{2})r^{4}dr=m_{i}$.

Тоді $\ (.8)$ може бути записаний як

$\ m_{0}=3m_{1}+2m_{2}\qquad (.9)$.

Тепер можна обчислити повний імпульс та повну енергію системи поля та частинок. Маємо

$\ \int (T^{00}+\mathrm {T} ^{00})d^{3}\mathbf {r} =m_{0}\gamma c^{2}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {m_{1}c^{2}}{2\gamma }}-{\frac {m_{2}\gamma u^{2}}{3}}+\gamma m_{3}c^{2}=m_{0}\gamma c^{2}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {m_{1}c^{2}\gamma }{2}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-{\frac {m_{2}\gamma u^{2}}{c^{2}}}$,

$\ {\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\int (\mathrm {T} ^{0i}+T^{0i})d^{3}\mathbf {r} ={\frac {2m_{0}\gamma \mathbf {u} }{3}}+m_{3}\mathbf {u} \gamma -{\frac {m_{2}\gamma \mathbf {u} }{3}}$$\$$\$$\$

Доведення.  

Використовуючи визначення

$\ T^{\alpha \beta }={\frac {f_{0}}{4\pi }}\left({\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\eta ^{\mu }\eta _{\mu }c^{2}-\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }c^{2}-u^{\alpha }u^{\beta }\eta ^{\gamma }\eta _{\gamma }\right)$

$\ \mathrm {T} ^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\eta ^{2}f_{1}+\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }f_{2}+u^{\alpha }u^{\beta }\eta ^{2}f_{3}\right)$,

написане у зносці "Допоміжні інтеграли", а також - визначення мас як

$\ m_{i}=\int \limits _{0}^{\infty }f_{i}(a^{2}+r^{2})r^{4}dr$,

можна отримати:

$\ \int T^{00}d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {1}{2}}\eta ^{2}c^{2}-(\eta ^{0})^{2}c^{2}-\gamma ^{2}c^{2}\eta ^{2}\right)d^{3}\mathbf {r} ={\frac {c^{2}}{4\pi }}\left({\frac {1}{2}}-\gamma ^{2}\right)\int \eta ^{2}f_{0}d^{3}\mathbf {r} -{\frac {c^{2}}{4\pi }}\int (\eta ^{0})^{2}f_{0}d^{3}\mathbf {r} ={\frac {4\pi c^{2}}{4\pi \gamma }}\left(-{\frac {1}{2}}+\gamma ^{2}\right)m_{0}-{\frac {\gamma v^{2}m_{0}}{3}}=$

$\ =m_{0}c^{2}\gamma -{\frac {m_{0}c^{2}\gamma }{2}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-{\frac {\gamma m_{0}u^{2}}{2}}=m_{0}\gamma c^{2}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)$,

де для обчислення використовувались методи, що застосовувались вище. При цьому, при $\ m_{0}={\frac {3}{2}}\mu$ знову можна повернутися до $\ (.4)$, як це і повинно бути.

$\ {\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\int T^{0i}d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{4\pi c}}\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\int \left({\frac {1}{2}}g^{0i}\eta ^{2}c^{2}-c^{2}\eta ^{0}\eta ^{i}-u^{0}u^{i}\eta ^{2}\right)f_{0}d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {1}{4\pi c}}\int \left(c^{2}\eta ^{0}{\vec {\eta }}+\gamma ^{2}c\mathbf {u} \gamma ^{2}\eta ^{2}\right)f_{0}d^{3}\mathbf {r} =$

$\ =-{\frac {c}{4\pi }}\int \eta ^{0}{\vec {\eta }}f_{0}d^{3}\mathbf {r} -{\frac {\gamma ^{2}\mathbf {u} }{4\pi }}\int \eta ^{2}f_{0}d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {\mathbf {u} \gamma m_{0}}{3}}+\mathbf {u} \gamma m_{0}={\frac {2m_{0}\gamma \mathbf {u} }{3}}$,

де було використаний третій вираз зі зноски "Допоміжні інтеграли";

$\ {\frac {1}{c}}\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\int \mathrm {T} ^{0i}d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {1}{4\pi c}}\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\int \left(f_{2}\eta ^{0}\eta ^{i}c^{2}+f_{3}u^{0}u^{i}\right)d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {c}{4\pi }}\int f_{2}\eta ^{0}{\vec {\eta }}f_{2}d^{3}\mathbf {r} -{\frac {\gamma ^{2}\mathbf {u} }{4\pi }}\int f_{3}\eta ^{2}d^{3}\mathbf {r} =m_{3}\mathbf {u} \gamma -{\frac {m_{2}\gamma \mathbf {u} }{3}}$;

$\ \int \mathrm {T} ^{00}d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {1}{2}}\eta ^{2}f_{1}c^{2}+(\eta ^{0})^{2}f_{2}c^{2}+\gamma ^{2}c^{2}\eta ^{2}f_{3}\right)d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {c^{2}}{8\pi }}\int f_{1}\eta ^{2}d^{3}\mathbf {r} -{\frac {c^{2}}{4\pi }}\int f_{2}(\eta ^{0}){2}d^{3}\mathbf {r} -\gamma ^{2}c^{2}\int f_{3}\eta ^{2}d^{3}\mathbf {r} =$

$\ ={\frac {m_{1}c^{2}}{2\gamma }}-{\frac {m_{2}\gamma u^{2}}{3}}+\gamma m_{3}c^{2}$.

Після застосування ж $\ (.9)$ до $\ (.10)-(.11)$ отримуються рівності

$\ E=m_{0}\gamma c^{2}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {m_{1}c^{2}\gamma }{2}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-{\frac {m_{2}\gamma u^{2}}{c^{2}}}=|m_{0}=3m_{1}+2m_{2}|=$

$\ ={\frac {3}{2}}m_{1}\gamma c^{2}+{\frac {m_{1}\gamma u^{2}}{2}}+{\frac {m_{1}\gamma c^{2}}{2}}-{\frac {m_{1}\gamma u^{2}}{2}}+m_{2}c^{2}\gamma +{\frac {m_{2}\gamma u^{2}}{3}}-{\frac {m_{2}\gamma u^{2}}{3}}=(2m_{1}+m_{2}+m_{3})\gamma c^{2}=M\gamma c^{2}$,

$\ \mathbf {p} ={\frac {2m_{0}\gamma \mathbf {u} }{3}}+m_{3}\mathbf {u} \gamma -{\frac {m_{2}\gamma \mathbf {u} }{3}}=|m_{0}=3m_{1}+2m_{2}|=2m_{1}\gamma \mathbf {u} +m_{2}\gamma \mathbf {u} +m_{3}\gamma \mathbf {u} =M\gamma \mathbf {u}$.

Фізичний зміст цих мас - наступний. Якщо згадати визначення тензора енергії-імпульсу частинок із однойменного підрозділу,

$\ \mathrm {T} ^{\alpha \beta }=\mu _{3}{\frac {dS}{dt}}u^{\alpha }u^{\beta }$,

де $\ \mu _{3}$ - масова густина частинок, і порівняти його з доданком отриманого у цьому розділі тензора,

$\ -{\frac {1}{4\pi }}\eta ^{2}f_{3}u^{\alpha }u^{\beta }$,

то стає видно, що

$\ \mu _{3}=-{\frac {\eta ^{2}f_{3}}{4\pi {\frac {dS}{dt}}}}=-{\frac {\eta ^{2}f_{3}\gamma }{4\pi c}}$.

Тому маса $\ m_{3}$ має механічне "походження". Інші ж дві маси, як слідує із зв'язку $\ m_{0}=3m_{1}+2m_{2}$, мають електромагнітне польове походження.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$ Із форми введення цієї маси допускалися різноманітні гіпотези. Наприклад, сам електрон вважався сферою, по поверхні якої був рівномірно розподілений заряд; тоді би зникала проблема нескінченності власної енергії електрона як точкового заряду. Проте така концепція призводить до того, що доводиться враховувати також деякі сили неелектромагнітного походження, які залишають радіус сфери фіксованим, оскільки, в силу нестабільності суто електростатичної системи, сфера би весь час розширювалася. Ці сили і були б відповідальними за доданок у виразі для енергії, що призводить до розбіжностей.

Деякі цікаві застосування теорії поля

Деякі аспекти сильної взаємодії

Деякі аспекти сильної взаємодії.  

Як уже писалось у підрозділі "Функція Лагранжа та дія для електромагнітного поля", загальний вигляд Лагранжіана для електромагнітного поля має вигляд

$\ L=-{\frac {1}{c}}j_{\alpha }A^{\alpha }-{\frac {1}{8\pi c}}(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\alpha }A^{\beta })+{\frac {1}{8\pi c}}(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\beta }A^{\alpha })$.

Окрім того, було написано, що додавання функції виду $\ A_{\alpha }A^{\alpha }$ призводить до порушення закону Кулона та швидкості розповсюдження хвиль поля, меншої за швидкість світла. Наразі це продемонструється.

Можна розглянути взаємодію із наступними властивостями. По-перше, нехай взаємодія подібна електромагнітній (саме поле характеризується деяким 4-вектором $\ A^{\alpha }$, рівняння поля лінійні). По-друге, нехай переносники поля є масивними. Тоді, звичайно, швидкість розповсюдження хвиль такого поля буде меншою за швидкість світла. По-третє, нехай функція Лагранжа для пробної частинки є повністю аналогічною відповідній функції для частинки у електромагнітному полі. Звідси відразу слідує, що вираз для сили, що діє на частинку зі сторони поля, а також - вирази для "напруженості" та "індукції" поля є такими ж по формі, як і відповідні вирази для електромагнітного поля. Отже, узагальнюючи, виходить, що лагранжіан такого поля є подібним до лагранжіану електромагнітної взаємодії, проте треба додати деяку величину, що враховує масу переносників поля. Із всіх можливих комбінацій (див. підрозділ "Функція Лагранжа та дія для електромагнітного поля") вибирається $\ {\frac {\mu ^{2}c}{8\pi \hbar ^{2}}}A_{\alpha }A^{\alpha }$ (зміст чисельника множника-константи можна буде бачити у подальшому, а знаменник вибрано таким для подібності із множниками інших доданків Лагранжіану), і тоді Лагранжіан може бути записаний як

$\ L=-{\frac {1}{c}}j_{\alpha }A^{\alpha }-{\frac {1}{8\pi c}}(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\alpha }A^{\beta })+{\frac {1}{8\pi c}}(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\beta }A^{\alpha })+{\frac {\mu ^{2}c}{8\pi \hbar ^{2}}}A_{\alpha }A^{\alpha }$.

Варто зазначити, що у цьому підрозділі використовується система СГС. Це робиться для того, щоб порівняти викладки, що будуть отримуватися далі, із аналогічними викладками у Планківській системі, що використовувалася у двох попередніх підрозділах, з ціллю порівняння запису рівнянь (в плані очевидності фізичного) та їх зручності.

Дуже просто отримати рівняння такого поля. Дійсно,

$\ {\frac {\partial L}{\partial A^{\beta }}}=-{\frac {1}{c}}j_{\beta }+{\frac {\mu ^{2}c}{4\pi \hbar ^{2}}}A_{\beta },\quad {\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\alpha }A^{\beta })}}=-{\frac {1}{4\pi c}}\partial _{\alpha }A_{\beta }+{\frac {1}{4\pi c}}\partial _{\beta }A_{\alpha },\quad \partial ^{\alpha }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\alpha }A^{\beta })}}\right)=-{\frac {1}{4\pi c}}\partial ^{2}A_{\beta }+{\frac {1}{4\pi c}}\partial _{\beta }\partial ^{\alpha }A_{\alpha }$,

і

$\ {\frac {\partial L}{\partial A^{\beta }}}=\partial ^{\alpha }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\alpha }A^{\beta })}}\right)\Rightarrow -{\frac {1}{c}}j_{\beta }+{\frac {\mu ^{2}c}{4\pi \hbar ^{2}}}A_{\beta }=-{\frac {1}{4\pi c}}\partial ^{2}A_{\beta }+{\frac {1}{4\pi c}}\partial _{\beta }\partial ^{\alpha }A_{\alpha }$.

Наклавши умову калібрування $\ \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$, можна переписати отримане рівняння у вигляді

$\ 4\pi j_{\beta }={\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}A_{\beta }+\partial ^{2}A_{\beta }\qquad (.1)$,

що за формою нагадує рівняння д'Аламбера для електромагнітного поля. Проте із нього слідують інші рівняння для "індукції" і "напруженості" поля. Наприклад,

$\ \nabla \mathbf {E} =-\nabla \left(-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=\Delta \varphi +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \mathbf {A} )=\left|\nabla \mathbf {A} =-{\frac {1}{c}}\nabla \varphi \right|=\Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=|\Delta \varphi =4\pi \rho -\mu ^{2}\varphi |=4\pi \rho -{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\varphi$,

де використаний явний вигляд аналогу калібровки Лоренца та рівняння поля $\ (.1)$ для індексу 0.

Тепер можна продемонструвати відхилення виразу для статичного потенціалу від вигляду кулонівського. Для випадку статики 3-векторний потенціал рівен нулю і поле не залежить від часу, і тоді з $\ (.1)$ слідує, знову ж таки,

$\ \partial ^{2}\varphi +{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\varphi =-\Delta \varphi +{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\varphi =4\pi \rho \qquad (.2)$.

Нехай вірне припущення сферичної симетрії поля потенціалу, а у просторі відсутні заряди. Тоді

$\ \varphi =\varphi (\mathbf {r} )\Rightarrow \nabla \varphi ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\varphi ={\frac {\partial r}{\partial \mathbf {r} }}{\frac {\partial }{\partial r}}\varphi =\varphi '{\frac {\mathbf {r} }{r}},\quad \Delta \varphi =\varphi ''{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}+{\frac {2\varphi }{r}}={\frac {1}{r^{2}}}(r^{2}\varphi ')'=_{right}={\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\varphi$.

Вводячи проміжну заміну

$\ \varphi ={\frac {f(r)}{r}}\Rightarrow (r^{2}\varphi ')'=(f'(r)r-f(r))'=rf''(r)$,

можна отримати

$\ rf''(r)=r{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}f(r)\Rightarrow \varphi (r)=C_{1}{\frac {e^{-{\frac {\mu c}{\hbar }}r}}{r}}+C_{2}{\frac {e^{{\frac {\mu c}{\hbar }}r}}{r}}$.

Тепер треба накласти граничні умови. По-перше, на нескінченності значення потенціалу повинно бути рівним нулю. Із цього одразу ж слідує, що $\ C_{2}=0$. По-друге, якщо проінтегрувати $\ (.2)$ по об'єму, обмеженому поверхнею сфери радіуса $\ R->0$, то

$\ \int 4\pi \rho dV=\int 4\pi Q\delta _{a}(\mathbf {r} )dV=4\pi Q$,

і

$\ \int \Delta \varphi -{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\int \varphi dV=\int \nabla (\nabla \varphi )dV-4\pi C_{1}{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\int \limits _{0}^{R}e^{-{\frac {\mu c}{\hbar }}r}rdr=C_{1}\left[\int \limits _{0}^{4\pi }\left(-{\frac {\mu c}{\hbar }}{\frac {e^{-{\frac {\mu c}{\hbar }}R}}{R}}-{\frac {e^{-{\frac {\mu c}{\hbar }}R}}{R^{2}}}\right)R^{2}d\Omega -4\pi (1-e^{-{\frac {\mu c}{\hbar }}R}(1+{\frac {\mu c}{\hbar }}R))\right]=$

$\ =-4\pi C_{1}=_{right}-4\pi Q\Rightarrow C_{1}=Q$.

Отже,

$\ \varphi =Q{\frac {e^{-{\frac {\mu c}{\hbar }}r}}{r}}$,

що відповідає виразу для потенціалу Юкави.

Отже, чисто феноменологічно сильна взаємодія на порівняно великих із радіусом конфайнмента масштабах може бути описана як електромагнітна взаємодія із масивним полем. І дійсно, на великих відстанях переносниками взаємодії є масивні мезони. Проте це ні в якому випадку не означає вірність твердження про електромагнітну природу сильної взаємодії (чим люблять спекулювати "лжевчені"). $\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Масивність носіїв поля та модифікація лагранжіану - деяке узагальнення

Масивність носіїв поля та модифікація лагранжіану - деяке узагальнення.  

У першому підрозділі, "Глобальні калібрувальні перетворення", розглядався лагранжіан для скалярного поля, що має вигляд

$\ L_{0}=(\partial _{\mu }\varphi )(\partial ^{\mu }\varphi ^{*})-m^{2}\varphi \varphi ^{*}\qquad (.1)$,

а у попередньому розділі -

$\ L=-{\frac {1}{c^{2}}}j_{\alpha }A^{\alpha }-{\frac {1}{8\pi c}}(\partial _{\alpha }A_{\beta })(\partial ^{\alpha }A^{\beta })+{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}A_{\alpha }A^{\alpha }\qquad (.2)$

(нагадаю, що перший вираз записаний у Планківській системі одиниць, а другий - у системі СГС, для порівняння викладок; подальші відповідні до кожного з рівнянь викладки будуть проводитися у відповідних системах одиниць).

Якщо у $\ (.2)$ відкинути перший доданок (розглянути пустий простір без "пробних" частинок), то видно, що по формі два лагранжіани мають одну і ту ж саму структуру (хоч і $\ (.1)$ записаний для скалярних полів, а $\ (.2)$ - для 4-векторних). І останні доданки цих лагранжіанів характеризують наявність маси у носіїв поля. Із чим це пов'язано і чому іх асоціюють із наявністю маси частинок?

Для відповіді на це питання треба знайти рівняння поля для кожного з лагранжіанів. Для $\ (.1)$ ці рівняння можуть бути записані як

$\ {\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)\Rightarrow -m^{2}\varphi ^{*}=\partial ^{2}\varphi ^{*}\Rightarrow \varphi =e^{i\alpha }e^{ip_{\nu }x^{\nu }}\qquad (.3)$,

а для $\ (.2)$, аналогічно,

$\ \partial ^{2}A_{\beta }+{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}A_{\beta }=0\Rightarrow A_{\beta }=e^{i\beta }e^{i{\frac {p^{\nu }}{\hbar }}x_{\nu }}\qquad (.4)$.

При підстановці обох розв'язків у початкові рівняння можна буде отримати

$\ e^{i\alpha }e^{ip_{\nu }x^{\nu }}(p_{\beta }p^{\beta }-m^{2})=0$,

$\ e^{i\beta }e^{i{\frac {p_{\nu }}{\hbar }}x^{\nu }}(p_{\beta }p^{\beta }-\mu ^{2}c^{2})=0$.

А ці вирази відповідають зв'язку між масою, імпульсом та енергією релятивістської частинки у вакуумі.

Окрім того, дещо переписавши $\ (.3),(.4)$ (використавши явний вигляд д'Аламбертіану), можна отримати вирази

$\ ((-i\nabla )^{2}+m^{2})\varphi ^{*}=\left(i{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\varphi ^{*}$,

$\ \left((-i\hbar \nabla )^{2}+m^{2}c^{2}\right)A_{\beta }=\left({\frac {i\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}A_{\beta }$,

перші доданки у лівій частині яких являються операторами імпульсів, а праві операторні частини - операторами енергії. Таким чином, враховування доданків виду $\ const{\frac {\mu ^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}A_{\alpha }A^{\alpha }$ дає доданок $\ m^{2}c^{2}$ до релятивістського зв'язку енергії та імпульсу носія поля.

Окрім того, тепер можна порівняти запис виразів і зручність користування за використовування систем одиниць СГС та Планківської. Видно, що множник при $\ A_{\alpha }A^{\alpha }$ у випадку використання Планківської системи одиниць набагато простіший і ніби більш "очевидний". Крім того, релятивістський зв'язок між енергією та імпульсом за вибору такої системи дещо простіший.

Формули

Формули.  

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

1. Тензор енергії-імпульсу електромагнітного поля:

$\ T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(F^{\alpha \gamma }F_{\gamma }^{\quad \beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)={\frac {1}{4\pi }}\left(-F^{\alpha \gamma }F_{\quad \gamma }^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)$.

Через вектор $\ \eta ^{\alpha }=x^{\alpha }-{\frac {1}{c^{2}}}(x^{\beta }v_{\beta })v^{\alpha }$:

$\ T^{\alpha \beta }={\frac {Q^{2}}{4\pi c^{2}(a^{2}-\eta ^{\delta }\eta _{\delta })^{3}}}\left[{\frac {1}{2}}g^{\alpha \beta }\eta ^{\mu }\eta _{\mu }c^{2}-\eta ^{\alpha }\eta ^{\beta }c^{2}-\eta ^{\gamma }\eta _{\gamma }v^{\alpha }v^{\beta }\right]$.

2. Лагранжіан для локально калібрувально-інваріантного поля:

$\ L=(\partial _{\mu }\varphi )(\partial ^{\mu }\varphi ^{*})-m^{2}\varphi \varphi ^{*}-J_{\mu }A^{\mu }+q^{2}A_{\mu }A^{\mu }\varphi \varphi ^{*}-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }$,

де $\ J_{\mu }=iq(\varphi D_{\mu }\varphi ^{*}-\varphi ^{*}D_{\mu }\varphi ),\quad D_{\mu }=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$.