Криволінійний інтеграл

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Правило Лейбніца Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Границя доданків Пряме порівняння Порівняння границь д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Стиснення Коші Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю інтегрування є деяка крива, буде так званий криволіні́йний інтегра́л.

Криволінійний інтеграл I роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Роздивимось неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

$\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}$.

Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.

Нехай $\lambda =\max \Delta l_{i},1\leq i\leq n$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \rightarrow 0$ ($n\rightarrow \infty$) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом I роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають

$\int _{AB}f(x;y)\,dl$ або $\int _{L}f(x;y)\,dl$.

Таким чином, за означенням

$\int _{AB}f(x;y)\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}$.

Теорема про існування криволінійного інтеграла I роду

Якщо функція $f(x;y)$ неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці $(x;y)\in L$ існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл I роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.

Властивості криволінійного інтеграла I роду

$1$. $\int _{AB}f(x;y)\,dl=\int _{BA}f(x;y)\,dl$, тобто криволінійний інтеграл I роду не залежить від напрямку інтегрування.

$2$. $\int _{L}c\cdot f(x;y)\,dl=c\cdot \int _{L}f(x;y)\,dl,c=const$, тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

$3$. $\int _{L}(f_{1}(x;y)\pm f_{2}(x;y))\,dl=\int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\pm \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl$, тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.

$4$. $\int _{L}f(x;y)\,dl=\int _{L_{1}}f(x;y)\,dl+\int _{L_{2}}f(x;y)\,dl$, якщо шлях інтегрування $L$ розбито на частини $L_{1}$ і $L_{2}$ такі, що $L=L_{1}\bigcup L_{2}$ і $L_{1}$ та $L_{2}$ мають єдину спільну точку.

$5$. Якщо для точок кривої $L$ виконується нерівність $f_{1}(x;y)\leq f_{2}(x;y)$, то $\int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\leq \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl$

$6$. $\int _{AB}\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta l_{i}=l$, де $l$ - довжина кривої $AB$.

$7$. Якщо функція $f(x;y)$ неперервна на кривій $AB$, то на цій кривій знайдеться точка $(x_{c};y_{c})$ така, що $\int _{AB}f(x;y)\,dl=f(x_{c};y_{c})\cdot l$ (теорема про середнє).

Обчислення криволінійного інтеграла I роду

Параметричне задання кривої інтегрування

Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга $AB$ в параметричному вигляді:
$L={\breve {AB}}={\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}\alpha \ \leq \ t\leq \ \beta \$,
тобто $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ є неперервними на $[\alpha ;\beta ]$. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій: $\int _{L}^{}f(x,y,z)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t),z(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt$
Для двовимірного випадку:
$\int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt$

Явне задання кривої інтегрування

Явне задання кривої: $y=y(x)$, $x\in [a,b]$: f x y dl f x y x y x dx

Полярне задання кривої інтегрування

Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
$\rho \ =\rho \ (\phi \ ),\phi _{1}\ \leq \ \phi \ \leq \ \phi _{2}\$

То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:
$\int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\phi _{1}\ }^{\phi _{2}\ }f(\rho \ (\phi \ )cos\phi \ ,\rho \ (\phi \ )sin\phi \ ){\sqrt {\rho ^{2}\ +(\rho \ '(\phi \ ))^{2}}}\,d\phi \$

Криволінійний інтеграл II роду

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;…; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму

$\sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}$,

де $\Delta x_{i}-x_{i-1}$ — проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.

Нехай $\lambda =\max \Delta l_{i},1\leq i\leq n$ — найбільша із довжин дуг поділу. Якщо $\lambda \rightarrow 0$ ($n\rightarrow \infty$) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i), то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають

$\int _{AB}P(x;y)\,dl$ або $\int _{L}P(x;y)\,dl$.

Таким чином, за означенням

$\int _{AB}P(x;y)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}$.

Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:

$\int _{AB}Q(x;y)\,dy=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}Q(x_{i};y_{i})\Delta y_{i}$,

де $\Delta y_{i}$ — проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Oy.

Криволінійний інтеграл II роду в загальному вигляді на площині:

$\int _{AB}P(x;y)\,dx+Q(x;y)\,dy=\int _{AB}P(x;y)\,dx+\int _{AB}Q(x;y)\,dy$

Криволінійний інтеграл II роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:

$\int _{AB}P(x;y;z)\,dx+Q(x;y;z)\,dy+R(x;y;z)\,dz$

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)