Критерій Ейзенштейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Крите́рій Ейзенштейна — ознака незвідності многочлена в полі раціональних чисел.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай  — многочлен з цілочисельними коефіцієнтами і для деякого простого числа p виконуються умови:

  • ,
  • для будь-якого і від 0 до n-1,
  • .

Тоді многочлен є незвідним у полі раціональних чисел.

Доведення[ред.ред. код]

Припустимо що: , де та многочлени ненульових степенів над . З леми Гауса випливає, що їх можна розглядати як многочлени над . Маємо:

По умові , тому або або , але не те і інше разом оскільки . Нехай і . Всі коефіцієнти не можуть ділитися на , оскільки інакше б це було б вірно і для . Нехай  — мінімальний індекс, для якого не ділиться на . Маємо:

Оскільки і для всіх то , але це неможливо, оскільки по умові і . Теорема доведена.

Приклади[ред.ред. код]

  • Многочлен є незвідним в , з цього виходить неможливість вирішення задачі про подвоєння куба
  • Многочлен є незвідним в . Справді, якщо він звідний, то звідним є і многочлен , а оскільки всі його коефіцієнти, окрім першого є біноміальними, тобто діляться на , а останній коефіцієнт до того ж не ділиться на то згідно з критерієм Ейзенштейна він є незвідним всупереч припущенню.
  • Многочлен над є прикладом, що показує, що критерій Ейзенштейна є тільки достатньою, але не необхідною умовою. Дійсно, єдиний простий дільник вільного члена це , але 4 ділиться на  — тому критерій Ейзенштейна тут не можна застосувати. З іншого боку, як многочлен 3 степеня без раціональних коренів, цей многочлен є незвідним.

Узагальнення[ред.ред. код]

Нехай Dфакторіальне кільце і — многочлен над D.

Нехай PDпростий ідеал, такий що:

  • aiP для in,
  • anP,
  • a0P2 (де P2 добуток ідеалу).

Тоді f(x) є незвідним в F[x], де Fполе часток D.

Посилання[ред.ред. код]